Общее решение дифференциального уравнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальное уравнение есть уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной:
\(\
f\left(x, y, y^{\prime}, \ldots, y^{(n)}\right)=0
\) (1)
Например: \(\
y^{\prime}=3 x-2 ; \quad(x+1) y^{\prime}=y-\sqrt{y}
\)
Решением дифференциального уравнения (1) является такая функция \(\
y=y(x)
\) , которая удовлетворяет этому уравнению, т. Е. После подстановки этой функции в уравнение (1) она становится тождественной.
Например: Функция \(\
y(x)=\sin x+x
\) является решением дифференциального уравнения \(\
y^{\prime}=\cos x+1
\) ,так как
\(\
y^{\prime}=\cos x+1 \Rightarrow(\sin x+x)^{\prime}=\cos x+1 \Rightarrow \cos x+1=\cos x+1
\)
То есть функция замещения в уравнении привела его к правильному равенству.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Общим решением дифференциального уравнения является отношение вида \(\
F(x ; y ; C)=0
\) или \(\
F(x ; y)=C
\) ,которое содержит произвольную константу \(\
С
\).
Эти соотношения имеют следующее свойство: если мы решим их по у для любых конкретных значений константы \(\
С
\), то в результате получим функцию вида \(\
y=y(x)
\) , которая является решением уравнения (1).