Общий интеграл дифференциального уравнения
Определение и формула общего интеграла дифференциального уравнения
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка (1) -
\(\
F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0
\)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Общий интеграл дифференциального уравнения (1) называется равенством (2)-
\(\
\Phi(x, y, C)=0
\)
Если мы дифференцируем равенство (2) по переменной \(\
\mathbf{x}
\), при условии, что (3) - \(\
y=y(x) : \frac{\partial \Phi}{\partial x}+\frac{\partial \Phi}{\partial x} \cdot y^{\prime}=0
\)
и исключить константу \(\
\mathrm{C}
\) из уравнений (2), (3), то получим дифференциальное уравнение, эквивалентное уравнению (1).
В этом случае говорят, что уравнение (1) является дифференциальным уравнением семейства функций (2), зависящих от параметра C.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР
Покажите, что функция \(\
y^{2}-x^{2}-C y=0
\) является общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка \(\
y^{\prime}\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 x y=0
\)
Продифференцируем данную неявную функцию \(\
y^{2}-x^{2}-C y=0
\) по переменной \(\
x
\) (не забывая, что у - функция от \(\
\mathbf{x}
\), то есть \(\
y=y(x)
\)
\(\
\left(y^{2}-x^{2}-C y\right)_{x}^{\prime}=02 y y^{\prime}-2 x-C y^{\prime}=0 \Rightarrow(2 y-C) y^{\prime}=2 x
\)
отсюда
\(\
y^{\prime}=\frac{2 x}{2 y-C}
\)
Из равенства \(\
y^{2}-x^{2}-C y=0
\) выражаем константу \(\
\mathrm{C}
\):
\(\
C y=y^{2}-x^{2} \Rightarrow C=\frac{y^{2}-x^{2}}{y}
\)
затем
\(\
y^{\prime}=\frac{2 x}{2 y-\frac{y^{2}-x^{2}}{y}}=\frac{2 x y}{2 y^{2}-y^{2}+x^{2}}=\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}
\)
Замените полученную производную на заданное дифференциальное уравнение:
\(\
\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}} \cdot\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 x y=2 x y-2 x y \equiv 0
\)
Таким образом, мы заключаем, что неявно заданная функция \(\
y=y(x)
\): \(\
y^{2}-x^{2}-C y=0
\) является общим интегралом рассматриваемого дифференциального уравнения \(\
y^{\prime}\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 x y=0
\)
Что и требовалось доказать
Частный интеграл дифференциального уравнения (1) является общим интегралом (2) этого уравнения для данного (известного) значения константы C.
Например: частичный интеграл для дифференциального уравнения из последнего примера - это функция
\(\
y^{2}-x^{2}=0
\)
полученный из общего интеграла этого уравнения для значения \(\
C=0
\)