Узнать цену работы
Статьи по теме

Общий интеграл дифференциального уравнения

Определение и формула общего интеграла дифференциального уравнения

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка (1) - \(\ F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0 \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Общий интеграл дифференциального уравнения (1) называется равенством (2)- \(\ \Phi(x, y, C)=0 \)

Если мы дифференцируем равенство (2) по переменной \(\ \mathbf{x} \), при условии, что (3) - \(\ y=y(x) : \frac{\partial \Phi}{\partial x}+\frac{\partial \Phi}{\partial x} \cdot y^{\prime}=0 \)

и исключить константу \(\ \mathrm{C} \) из уравнений (2), (3), то получим дифференциальное уравнение, эквивалентное уравнению (1).

В этом случае говорят, что уравнение (1) является дифференциальным уравнением семейства функций (2), зависящих от параметра C.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР

  • Задача

    Покажите, что функция \(\ y^{2}-x^{2}-C y=0 \) является общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка \(\ y^{\prime}\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 x y=0 \)

  • Доказательство.

    Продифференцируем данную неявную функцию \(\ y^{2}-x^{2}-C y=0 \) по переменной \(\ x \) (не забывая, что у - функция от \(\ \mathbf{x} \), то есть \(\ y=y(x) \)

    \(\ \left(y^{2}-x^{2}-C y\right)_{x}^{\prime}=02 y y^{\prime}-2 x-C y^{\prime}=0 \Rightarrow(2 y-C) y^{\prime}=2 x \)

    отсюда \(\ y^{\prime}=\frac{2 x}{2 y-C} \)

    Из равенства \(\ y^{2}-x^{2}-C y=0 \) выражаем константу \(\ \mathrm{C} \): \(\ C y=y^{2}-x^{2} \Rightarrow C=\frac{y^{2}-x^{2}}{y} \)

    затем \(\ y^{\prime}=\frac{2 x}{2 y-\frac{y^{2}-x^{2}}{y}}=\frac{2 x y}{2 y^{2}-y^{2}+x^{2}}=\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}} \)

    Замените полученную производную на заданное дифференциальное уравнение: \(\ \frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}} \cdot\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 x y=2 x y-2 x y \equiv 0 \)

    Таким образом, мы заключаем, что неявно заданная функция \(\ y=y(x) \): \(\ y^{2}-x^{2}-C y=0 \) является общим интегралом рассматриваемого дифференциального уравнения \(\ y^{\prime}\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 x y=0 \)

    Что и требовалось доказать

    Частный интеграл дифференциального уравнения (1) является общим интегралом (2) этого уравнения для данного (известного) значения константы C.

    Например: частичный интеграл для дифференциального уравнения из последнего примера - это функция \(\ y^{2}-x^{2}=0 \)

    полученный из общего интеграла этого уравнения для значения \(\ C=0 \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ