Узнать цену работы
Статьи по теме

Однородные дифференциальные уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если дифференциальное уравнение\(\ y^{\prime}=f(x ; y) \) не меняется при замене \(\ x \) на \(\ k x \) , \(\ y \) на \(\ k y \) , то оно называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

КОММЕНТАРИЙ

Эти уравнения однородны по переменным, а не по правой стороне, поэтому их не следует путать с линейными однородными уравнениями.

Решение этих уравнений разыскивается с помощью замены \(\ y(x)=x z(x) \)

отсюда \(\ y^{\prime}(x)=z(x)+x z^{\prime}(x) \)

В результате уравнение сводится к дифференциальному уравнению с сепарабельными переменными.

Найдя решение нового уравнения для функции \(\ z(x) \) , необходимо выполнить обратную замену \(\ z(x)=\frac{y(x)}{x} \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР

  • Задача

    интегрирования дифференциального уравнения \(\ y^{\prime}+\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}=0 \)

  • Решение

    Во-первых, убедитесь, что данное уравнение однородно. Для этого\(\ x \) заменяется на \(\ k : \varepsilon \) на \(\ k y \) : \(\ y^{\prime}+\frac{(k x)^{2}+(k y)^{2}}{k x \cdot k y}=0 \Rightarrow y^{\prime}+\frac{k^{2} x^{2}+k^{2} y^{2}}{k^{2} \cdot x y}=0 \Rightarrow\Rightarrow y^{\prime}+\frac{k^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{k^{2} \cdot x y}=0 \Rightarrow y^{\prime}+\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}=0 \)

    Как мы видим, после такой замены уравнение не изменилось, что доказывает его однородность по переменным.

    Сделайте замену \(\ y(x)=x z(x) \Rightarrow y^{\prime}=z+x z^{\prime} \)

    Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим: \(\ z+x z^{\prime}+\frac{x^{2}+(x z)^{2}}{x \cdot x z}=0 \)

    или же \(\ z+x z^{\prime}+\frac{x^{2}+x^{2} z^{2}}{x^{2} z}=0 \)

    Уменьшая числитель и знаменатель дроби на \(\ x^{2} \) ,получим: \(\ z+x z^{\prime}+\frac{1+z^{2}}{z}=0 \)

    Мы уменьшаем аналогичные: \(\ x z^{\prime}+\frac{z^{2}+1+z^{2}}{z}=0 x z^{\prime}+\frac{1+2 z^{2}}{z}=0 x \frac{d z}{d x}=-\frac{1+2 z^{2}}{z} \)

    Мы пришли к уравнению с разделимыми переменными, разделим их:

    \(\ \frac{z d z}{1+2 z^{2}}=-\frac{d x}{x} \)

    Полный интеграл дифференциального уравнения: \(\ \int \frac{z d z}{1+2 z^{2}}=-\int \frac{d x}{x} \)

    Интеграл в левой части уравнения находится путем замены: \(\ \int \frac{z d z}{1+2 z^{2}}\left\|\begin{array}{l}{1+2 z^{2}=t} \\ {4 z d z=d t} \\ {z d z=\frac{d t}{4}}\end{array}\right\|=\int \frac{\frac{d t}{4}}{t}=\frac{1}{4} \int \frac{d t}{t}=\frac{1}{4} \ln |t|+C_{1}=\frac{1}{4} \ln \left|1+2 z^{2}\right|+C_{1} \)

    Интеграл в правой части является табличным и \(\ -\int \frac{d x}{x}=-\ln |x|+C_{2} \)

    Итак, получим решение \(\ \frac{1}{4} \ln \left|1+2 z^{2}\right|=-\ln |x|+\ln |\sqrt[4]{C}|=\ln \left|\frac{\sqrt[4]{C}}{x}\right| \Rightarrow \ln \left|1+2 z^{2}\right|=4 \ln \left|\frac{\sqrt[4]{C}}{x}\right|==\ln \left(\frac{\sqrt[4]{C}}{x}\right)^{4}=\ln \frac{C}{x^{4}} \) т.е. \(\ \frac{1}{4} \ln \left|1+2 z^{2}\right|=-\ln |x|+\ln |\sqrt[4]{C}|=\ln \left|\frac{\sqrt[4]{C}}{x}\right| \Rightarrow \ln \left|1+2 z^{2}\right|=4 \ln \left|\frac{\sqrt[4]{C}}{x}\right|==\ln \left(\frac{\sqrt[4]{C}}{x}\right)^{4}=\ln \frac{C}{x^{4}} \)

    Чтобы найти функцию\(\ y(x) \) ,мы выполняем обратную замену \(\ z=\frac{y}{x} \), в результате имеем: \(\ 1+\frac{2 y^{2}}{x^{2}}=\frac{C}{x^{4}} \)

    После преобразований мы, наконец, получим, что искомое решение

    \(\ \frac{x^{2}+2 y^{2}}{x^{2}}=\frac{C}{x^{4}} \Rightarrow x^{2}+2 y^{2}=\frac{C}{x^{2}} \Rightarrow x^{2}\left(x^{2}+2 y^{2}\right)=C \)

    Ответ \(\ x^{2}\left(x^{2}+2 y^{2}\right)=C \)

    ПРИМЕР

    <

  • Задача

    Решить дифференциальное уравнение \(\ y^{\prime}=e^{\frac{y}{2}}+\frac{y}{x}+1 \)

  • Решение

    Это уравнение однородно (это легко проверить непосредственно), поэтому для его решения мы делаем замену \(\ \frac{y}{x}=z \Rightarrow y=z x \Rightarrow y^{\prime}=z^{\prime} x+z \)

    После этого уравнение будет записано в виде: \(\ x z^{\prime}+z=e^{z}+z+1 \)

    или же \(\ x \cdot \frac{d z}{d x}=e^{z}+1 \)

    Получили уравнение с разделимыми переменными, разделим их. Для этого левая и правая части последнего равенства делятся на \(\ \frac{x\left(e^{z}+1\right)}{d x} \) : \(\ \frac{d z}{e^{z}+1}=\frac{d x}{x} \)

    Полный интеграл полученного уравнения: \(\ \int \frac{d z}{e^{z}+1}=\int \frac{d x}{x} \)

    Найти интеграл в левой части последнего равенства: \(\ \int \frac{d z}{e^{z}+1}\left\|\begin{array}{l}{e^{z}+1=t} \\ {e^{z} d z=d t} \\ {e^{z}=t-1} \\ {d z=\frac{d t}{e^{z}}=\frac{d t}{t-1}}\end{array}\right\|=\int \frac{\frac{d t}{t-1}}{t}=\int \frac{d t}{t(t-1)} \)

    Функция подынтегральной функции \(\ \frac{1}{t(t-1)} \) представляется в виде суммы простейших дробей: \(\ \frac{1}{t(t-1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t-1}=\frac{A t-A+B t}{t(t-1)} \Rightarrow 1=(A+B) t-A \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{A+B=0} \\ {-A=1}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{A=-1} \\ {B=1}\end{array}\right.\right. \)

    Таким образом, \(\ \frac{1}{t(t-1)}=\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t} \)

    Итак, мы получаем \(\ \int \frac{d z}{e^{z}+1}=\int \frac{d t}{t(t-1)}=\int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}\right) d t=\ln |t-1|-\ln |t|+C_{1}==\ln \left|\frac{t-1}{t}\right|+C_{1}=\ln \left|\frac{e^{z}}{e^{z}+1}\right|+C_{1} \)

    т.е. \(\ \ln \left|\frac{e^{z}}{e^{z}+1}\right|=\ln |x|+\ln |C| \Rightarrow \ln \left|\frac{e^{z}}{e^{z}+1}\right|=\ln |C x| \Rightarrow \frac{e^{z}}{e^{z}+1}=C x \)

    После замены мы получаем: \(\ \frac{e^{\frac{y}{2}}}{e^{\frac{y}{y}}+1}=C x \)

    Ответ \(\ \frac{e^{\frac{y}{2}}}{e^{\frac{y}{2}}+1}=C x \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ