Ограниченные последовательности
Определения ограниченных последовательностей
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность \(\
\left\{x_{n}\right\}
\) называется ограниченной сверху, если существует число \(\
\mathrm{M}
\) такое, что каждый элемент рассматриваемой последовательности удовлетворяет неравенству \(\
x_{n} \leq M
\).
Последовательность \(\
\left\{x_{n}\right\}
\) называется ограниченной ниже, если существует число \(\
\mathrm{m}
\) такое, что каждый элемент данной последовательности удовлетворяет неравенству \(\
x_{n} \geq m
\).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность \(\
\left\{x_{n}\right\}
\) называется ограниченной, если она ограничена как сверху, так и снизу, т. е. Если существуют числа \(\
M ; \quad m
\) , такие, что для любого члена последовательности соотношение: \(\
m \leq x_{n} \leq M
\)
Последовательность \(\
\left\{x_{n}\right\}
\) называется неограниченной, если для любого числа \(\
\mathrm{A}>0
\) найдется число n такое, что \(\
\left|x_{n}\right|>A
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР
Чтобы исследовать последовательность \(\
\left\{\frac{1}{n^{2}}\right\}
\) для ограниченности.
Поскольку все члены данной последовательности положительны \(\
1>0, n^{2}>0
\)
\(\
\frac{1}{n^{2}}>0
\)
Фракция \(\
\frac{1}{n^{2}}
\) неверна (числитель меньше или равен знаменателю, потому что \(\
n \in N \Rightarrow n \geq 1 \Rightarrow n^{2} \geq 1
\) , что означает, что его значение больше или равно 1,
\(\
\frac{1}{n^{2}} \leq 1
\)
Итак, мы имеем \(\
0<\frac{1}{n^{2}} \leq 1
\) , а это означает, что последовательность \(\
\left\{\frac{1}{n^{2}}\right\}
\) ограничена.
Последовательность ограничена.
ПРИМЕР
Чтобы исследовать последовательность \(\
\left\{n^{2}\right\}
\) для ограниченности.
Указанная последовательность ограничена ниже, поскольку
\(\
n \in N \Rightarrow n \geq 1 \Rightarrow n^{2} \geq 1
\)
Но, однако, данная последовательность является неограниченной последовательностью, так как для любого положительного числа \(\
\mathrm{A}
\) существует элемент этой последовательности, большей \(\
\mathrm{A}
\):
\(\
x_{n}>A \Rightarrow n^{2}>A \Rightarrow n>\sqrt{A} \Rightarrow n_{0}=[\sqrt{A}]+1
\)
где \(\
[y]
\) - целая часть. То есть для любого положительного \(\
\mathrm{A}>0
\) найдется такое число \(\
n=[\sqrt{A}]+1
\) , что \(\
\left|x_{[\sqrt{A}]+1}\right|>A
\)
Последовательность не ограничена.