Узнать цену работы
Статьи по теме

Ограниченные последовательности

Определения ограниченных последовательностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Последовательность \(\ \left\{x_{n}\right\} \) называется ограниченной сверху, если существует число \(\ \mathrm{M} \) такое, что каждый элемент рассматриваемой последовательности удовлетворяет неравенству \(\ x_{n} \leq M \).

Последовательность \(\ \left\{x_{n}\right\} \) называется ограниченной ниже, если существует число \(\ \mathrm{m} \) такое, что каждый элемент данной последовательности удовлетворяет неравенству \(\ x_{n} \geq m \).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Последовательность \(\ \left\{x_{n}\right\} \) называется ограниченной, если она ограничена как сверху, так и снизу, т. е. Если существуют числа \(\ M ; \quad m \) , такие, что для любого члена последовательности соотношение: \(\ m \leq x_{n} \leq M \)

Последовательность \(\ \left\{x_{n}\right\} \) называется неограниченной, если для любого числа \(\ \mathrm{A}>0 \) найдется число n такое, что \(\ \left|x_{n}\right|>A \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР

  • Задача

    Чтобы исследовать последовательность \(\ \left\{\frac{1}{n^{2}}\right\} \) для ограниченности.

  • Решение.

    Поскольку все члены данной последовательности положительны \(\ 1>0, n^{2}>0 \)

    \(\ \frac{1}{n^{2}}>0 \)

    Фракция \(\ \frac{1}{n^{2}} \) неверна (числитель меньше или равен знаменателю, потому что \(\ n \in N \Rightarrow n \geq 1 \Rightarrow n^{2} \geq 1 \) , что означает, что его значение больше или равно 1,

    \(\ \frac{1}{n^{2}} \leq 1 \)

    Итак, мы имеем \(\ 0<\frac{1}{n^{2}} \leq 1 \) , а это означает, что последовательность \(\ \left\{\frac{1}{n^{2}}\right\} \) ограничена.

  • Ответ.

    Последовательность ограничена.

    ПРИМЕР

  • Задача

    Чтобы исследовать последовательность \(\ \left\{n^{2}\right\} \) для ограниченности.

  • Решение.

    Указанная последовательность ограничена ниже, поскольку

    \(\ n \in N \Rightarrow n \geq 1 \Rightarrow n^{2} \geq 1 \)

    Но, однако, данная последовательность является неограниченной последовательностью, так как для любого положительного числа \(\ \mathrm{A} \) существует элемент этой последовательности, большей \(\ \mathrm{A} \):

    \(\ x_{n}>A \Rightarrow n^{2}>A \Rightarrow n>\sqrt{A} \Rightarrow n_{0}=[\sqrt{A}]+1 \)

    где \(\ [y] \) - целая часть. То есть для любого положительного \(\ \mathrm{A}>0 \) найдется такое число \(\ n=[\sqrt{A}]+1 \) , что \(\ \left|x_{[\sqrt{A}]+1}\right|>A \)

  • Ответ.

    Последовательность не ограничена.

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ