Окружность, описанная около треугольника
Определение и формулы круга, описываемого вокруг треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Круг, проходящий через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью.
Центр описанной окружности лежит на пересечении средних перпендикуляров к сторонам треугольника.
Круг может быть описан вокруг любого треугольника и только одного.
Радиус \(\
\mathrm{R}
\) окружности, описываемой вокруг треугольника, равен отношению произведения сторон a, b, c треугольника к его четверной области:
\(\
R=\frac{a b c}{4 S}
\)
Радиус круга, описанного вокруг треугольника, равен отношению стороны треугольника к двойному синусу противоположного угла (следствие теоремы синуса):
\(\
R=\frac{A B}{2 \sin \angle C}=\frac{A C}{2 \sin \angle B}=\frac{B C}{2 \sin \angle A}
\)
В правом треугольнике центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Найти радиус окружности, описанной около треугольника \(\
\mathrm{ABC}
\) со стороной \(\
\mathrm{AB = 3 см}
\) и углами \(\
\angle A=60
\) и \(\
\angle B=75^{\circ}
\)
Радиус \(\
R
\) окружности, описываемой вокруг треугольника, найден из уравнения
\(\
R=\frac{A B}{2 \sin \angle C}
\)
Сумма углов произвольного треугольника равна \(\
180^{\circ}
\) , поэтому
\(\
\angle C=180^{\circ}-60^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ}
\)
Теперь вы можете найти радиус окружности:
\(\
R=\frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2} \mathrm{см}
\)
\(\
R=\frac{3 \sqrt{2}}{2}
\) см.
ПРИМЕР 2
В треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) стороны \(\
\mathrm{AB = 8 см}
\), \(\
\mathrm{AC = 4 см}
\). Найдите все углы треугольника, если радиус окружности равен \(\
\mathrm{R = 4 см}
\).
Радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к двойному синусу противоположного угла
\(\
R=\frac{A B}{2 \sin \angle C}=\frac{A C}{2 \sin \angle B}=\frac{B C}{2 \sin \angle A}
\)
Из письменных равенств находим синусы углов B и C треугольника:
\(\
\sin \angle C=\frac{A B}{2 R}=\frac{8}{8}=1, \sin \angle B=\frac{A C}{2 R}=\frac{6}{8}=\frac{1}{2}
\)
откуда следует, что \(\
\angle C=90^{\circ}
\) и \(\
\angle B=30^{\circ}
\)
Найдите угол A:
\(\
\angle A=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}
\)
\(\
\angle A=60^{\circ}, \angle B=30^{\circ}, \angle C=90^{\circ}
\)