Узнать цену работы
Статьи по теме

Окружность, описанная около треугольника

Определение и формулы круга, описываемого вокруг треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Круг, проходящий через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью.

Центр описанной окружности лежит на пересечении средних перпендикуляров к сторонам треугольника.

Круг может быть описан вокруг любого треугольника и только одного.

Радиус \(\ \mathrm{R} \) окружности, описываемой вокруг треугольника, равен отношению произведения сторон a, b, c треугольника к его четверной области:

\(\ R=\frac{a b c}{4 S} \)

Радиус круга, описанного вокруг треугольника, равен отношению стороны треугольника к двойному синусу противоположного угла (следствие теоремы синуса):

\(\ R=\frac{A B}{2 \sin \angle C}=\frac{A C}{2 \sin \angle B}=\frac{B C}{2 \sin \angle A} \)

В правом треугольнике центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найти радиус окружности, описанной около треугольника \(\ \mathrm{ABC} \) со стороной \(\ \mathrm{AB = 3 см} \) и углами \(\ \angle A=60 \) и \(\ \angle B=75^{\circ} \)

  • Решение

    Радиус \(\ R \) окружности, описываемой вокруг треугольника, найден из уравнения

    \(\ R=\frac{A B}{2 \sin \angle C} \)

    Сумма углов произвольного треугольника равна \(\ 180^{\circ} \) , поэтому

    \(\ \angle C=180^{\circ}-60^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ} \)

    Теперь вы можете найти радиус окружности:

    \(\ R=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {2 \cdot \frac{\sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {\sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\frac{3 \sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \mathrm{см} \)

  • Ответ

    \(\ R=\frac{3 \sqrt

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) см.

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    В треугольнике \(\ \mathrm{ABC} \) стороны \(\ \mathrm{AB = 8 см} \), \(\ \mathrm{AC = 4 см} \). Найдите все углы треугольника, если радиус окружности равен \(\ \mathrm{R = 4 см} \).

  • Решение

    Радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к двойному синусу противоположного угла

    \(\ R=\frac{A B}{2 \sin \angle C}=\frac{A C}{2 \sin \angle B}=\frac{B C}{2 \sin \angle A} \)

    Из письменных равенств находим синусы углов B и C треугольника:

    \(\ \sin \angle C=\frac{A B}{2 R}=\frac{8}{8}=1, \sin \angle B=\frac{A C}{2 R}=\frac{6}{8}=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) откуда следует, что \(\ \angle C=90^{\circ} \) и \(\ \angle B=30^{\circ} \)

    Найдите угол A:

    \(\ \angle A=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ} \)

  • Ответ

    \(\ \angle A=60^{\circ}, \angle B=30^{\circ}, \angle C=90^{\circ} \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы