Окружность, вписанная в треугольник
Определение и формулы круга, вписанного в треугольник
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Круг, касающийся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
Вы можете вписать круг в любой треугольник и только один.
Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериоду:
\(\
r=\frac{S}{p}
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
В боковом треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\), \(\
\mathrm{AB = 3 см}
\), \(\
\mathrm{BC = 5 см}
\) и \(\
\mathrm{AC = 6 см}
\). Найдите радиус круга, вписанного в треугольник \(\
\mathrm{ABC}
\).
Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериоду. Треугольный треугольник \(\
\mathrm{ABC}
\)
\(\
p=\frac{1}{2} \cdot(A B+B C+A C)=\frac{1}{2} \cdot(3+5+6)=7 \mathrm{cm}
\)
Площадь треугольника найдет формулу Герона:
\(\
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{7 \cdot(7-3) \cdot(7-5) \cdot(7-6)}=\sqrt{56}
\)
Тогда радиус вписанной окружности:
\(\
r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{56}}{7}=\sqrt{\frac{8}{7}} \mathrm{cm}
\)
\(\
r=\sqrt{\frac{8}{7}} \mathrm{cm}
\)
ПРИМЕР 2
В прямоугольном треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) с прямым углом \(\
\mathrm{B}
\) нога \(\
\mathrm{AB = 5 см}
\), а гипотенуза - \(\
\mathrm{AC = 13 см}
\). Найдите радиус круга, вписанного в этот треугольник.
Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериоду: \(\
r=\frac{s}{p}
\) Найдите ногу \(\
\mathrm{BC}
\) согласно теореме Пифагора:
\(\
B C=\sqrt{A C^{2}-A B^{2}}=\sqrt{13^{2}-25^{2}}=12
\)см
Тогда площадь правого треугольника \(\
\mathrm{ABC}
\) равна
\(\
S_{A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot B C=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12=30 \mathrm{cm}^{2}
\)
Полуграницей треугольника \(\
\mathrm{ABC}
\) является:
\(\
p=\frac{A B+B C+A C}{2}=\frac{5+13+12}{2}=15 \mathrm{cm}
\)
Искаженный радиус
\(\
r=\frac{S}{p}=\frac{30}{15}=2 \mathrm{cm}
\)
\(\
r=2 \mathrm{cm}
\)