Узнать цену работы
Статьи по теме

Окружность, вписанная в треугольник

Определение и формулы круга, вписанного в треугольник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Круг, касающийся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Вы можете вписать круг в любой треугольник и только один.

Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериоду:

\(\ r=\frac{S}{p} \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    В боковом треугольнике \(\ \mathrm{ABC} \), \(\ \mathrm{AB = 3 см} \), \(\ \mathrm{BC = 5 см} \) и \(\ \mathrm{AC = 6 см} \). Найдите радиус круга, вписанного в треугольник \(\ \mathrm{ABC} \).

  • Решение

    Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериоду. Треугольный треугольник \(\ \mathrm{ABC} \)

    \(\ p=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot(A B+B C+A C)=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot(3+5+6)=7 \mathrm{cm} \)

    Площадь треугольника найдет формулу Герона:

    \(\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{7 \cdot(7-3) \cdot(7-5) \cdot(7-6)}=\sqrt{56} \)

    Тогда радиус вписанной окружности:

    \(\ r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{56}}{7}=\sqrt{\frac{8}{7}} \mathrm{cm} \)

  • Ответ

    \(\ r=\sqrt{\frac{8}{7}} \mathrm{cm} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    В прямоугольном треугольнике \(\ \mathrm{ABC} \) с прямым углом \(\ \mathrm{B} \) нога \(\ \mathrm{AB = 5 см} \), а гипотенуза - \(\ \mathrm{AC = 13 см} \). Найдите радиус круга, вписанного в этот треугольник.

  • Решение

    Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериоду: \(\ r=\frac{s}{p} \) Найдите ногу \(\ \mathrm{BC} \) согласно теореме Пифагора:

    \(\ B C=\sqrt{A C^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -A B^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\sqrt{13^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -25^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=12 \)см

    Тогда площадь правого треугольника \(\ \mathrm{ABC} \) равна

    \(\ S_{A B C}=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    A B \cdot B C=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot 5 \cdot 12=30 \mathrm{cm}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Полуграницей треугольника \(\ \mathrm{ABC} \) является:

    \(\ p=\frac{A B+B C+A C}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{5+13+12}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =15 \mathrm{cm} \)

    Искаженный радиус

    \(\ r=\frac{S}{p}=\frac{30}{15}=2 \mathrm{cm} \)

  • Ответ

    \(\ r=2 \mathrm{cm} \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы