Рассмотрим операции над комплексными числами, написанными в алгебраических, тригонометрических и экспоненциальных формах.
Сравнение
Два комплексных числа \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) и \(\
z_
=x_
+i y_
\) называются равными, если \(\
x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =x_
\), \(\
y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =y_
\) т.е. их действительная и мнимая части равны.
ПРИМЕР
Задача
Определить, для каких \(\
x
\) и \(\
y
\) два комплексных числа \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =1+y i
\) и \(\
z_
=x-7 i
\) равны.
Решение
По определению два комплексных числа равны, если их действительная и мнимая части равны, т. е. \(\
x=1
\), \(\
y=-7
\)
Ответ
\(\
x=1
\), \(\
y=-7
\)
Два комплексных числа в тригонометрической форме \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \left(\cos \varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i \sin \varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \right)
\) и \(\
z_
=r_
\left(\cos \varphi_
+i \sin \varphi_
\right)
\) называются равными, если \(\
\left|z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \right|=\left|z_
\right|, \quad \arg z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =\arg z_
+2 \pi n, n \in Z
\) То есть, если их модули равны, а аргументы отличаются кратным \(\
2 \pi
\)
Аналогично для чисел в экспоненциальной форме \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot e^{i \varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }
\), \(\
z_
=r_
\cdot e^{i \varphi_
}
\) : два комплексных числа равны, если \(\
r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =r_
, \varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =\varphi_
+2 \pi n, n \in Z
\)
прибавление
Добавление комплексных чисел выполняется в алгебраической форме и определяется следующим образом: сумма чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) и \(\
z_
=x_
+i y_
\) - это число
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +z_
=x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +x_
+i y_
=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +x_
\right)+i\left(y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +y_
\right)
\)
Т.е. выполняется прямое суммирование вещественной и мнимой частей.
ПРИМЕР
Задача
Найти сумму комплексных чисел 
, \(\
z_
=3+2 i
\)
Решение.
Действительной частью комплекса \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =-1-3 i
\) является число \(\
x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =\mathrm{Re}
\), \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =-1
\) , мнимая часть - это число \(\
y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =\operatorname{Im}
\), \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =-3
\)
Реальная и мнимая части комплексного числа \(\
z_
=3+2 i
\) равны соответственно \(\
x_
=\mathrm{Re}
\), \(\
z_
=3
\) и \(\
y_
=\mathrm{Im}
\), \(\
z_
=2
\)
Следовательно, сумма комплексных чисел:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +z_
=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +x_
\right)+i\left(y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +y_
\right)=(-1+3)+i(-3+2)=2-i
\)
Ответ
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +z_
=2-i
\)
Вычитание
Вычитание комплексных чисел также выполняется в алгебраической форме. Разница двух чисел $$
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) и \(\
z_
=x_
+i y_
\) - это число
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -z_
=x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -\left(x_
+i y_
\right)=x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -x_
+\left(i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -i y_
\right)=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -x_
\right)+i\left(y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -y_
\right)
\)
Таким образом, чтобы вычесть другое из одного числа, выполняется фактическое вычитание реальной и мнимой частей.
ПРИМЕР
Задача
найти разницу сложных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =17-35 i
\), \(\
z_
=15+5 i
\)
Решение.
Найдем вещественную и мнимую части комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =17-35 i
\) и \(\
z_
=15+5 i
\) :
\(\
x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =\operatorname{Re} z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =17, y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =\operatorname{Im} z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =-35
\)
\(\
x_
=\operatorname{Re} z_
=15, y_
=\operatorname{Im} z_
=5
\)
Поэтому разница комплексных чисел:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -z_
=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -x_
\right)+i\left(y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -y_
\right)=(17-15)+i(-35-5)=2-40 i
\)
Ответ
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -z_
=2-40 i
\)
Умножение
Умножение комплексных чисел в алгебраической форме \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) и \(\
z_
=x_
+i y_
\) выполняется путем непосредственного рождения чисел в алгебраической форме с учетом свойства мнимой единицы \(\
i^
=-1
\):
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot z_
=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \right) \cdot\left(x_
+i y_
\right)=x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot x_
+i^
\cdot y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot y_
+\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot i y_
+x_
\cdot i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \right)=
\)
\(\
=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot x_
-y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot y_
\right)+i\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot y_
+x_
\cdot y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \right)
\)
ПРИМЕР
Задача
Найти произведение комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =1-5 i
\), \(\
z_
=5+2 i
\)
Решение.
Комплекс комплексных чисел:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot z_
=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot x_
-y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot y_
\right)+i\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot y_
+x_
\cdot y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5)=15-23 i
\)
Ответ
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot z_
=15-23 i
\)
Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме справедливо равенство:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot z_
=r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot r_
\left(\cos \left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +\varphi_
\right)+i \sin \left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +\varphi_
\right)\right)
\)
Для получения комплексных чисел в экспоненциальной форме справедливо равенство:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot z_
=r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot e^{i \varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос } \cdot r_
\cdot e^{i \varphi_
}=r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot r_
\cdot e^{i \varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i \varphi_
}=r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot r_
\cdot e^{i\left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +\varphi_
\right)}
\)
ПРИМЕР
Задача
найти продукт комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =1-5 i
\), \(\
z_
=5+2 i
\)
Решение.
Комплекс комплексных чисел:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot z_
=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot x_
-y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot y_
\right)+i\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot y_
+x_
\cdot y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5)=15-23 i
\)
Ответ
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot z_
=15-23 i
\)
Разделение
Фактор комплексных чисел в алгебраической форме \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) и \(\
z_
=x_
+i y_
\) определяется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число знаменателя:
\(\
\frac{z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }{z_
}=\frac{x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }{x_
+i y_
}=\frac{\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \right)\left(x_
-i y_
\right)}{\left(x_
+i y_
\right)\left(x_
-i y_
\right)}=\frac{x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot x_
+y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot y_
}{x_
^
+y_
^
}+i \frac{x_
\cdot y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot y_
}{x_
^
+y_
^
}
\)
ПРИМЕР
Задача
Чтобы разделить число 2 на комплексное число \(\
z=1+2 i
\)
Решение.
Поскольку мнимая часть действительного числа 1 равна нулю, фактор равен:
\(\
\frac
{1+2 i}=\frac{2 \cdot 1}{1^
+2^
}-i \frac{2 \cdot 2}{1^
+2^
}=\frac
{5}-i \frac{4}{5}
\)
Ответ
\(\
\frac
{1+2 i}=\frac
{5}-i \frac{4}{5}
\)
Фактор комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \div z_
=\frac{r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }{r_
}\left(\cos \left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -\varphi_
\right)+i \sin \left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -\varphi_
\right)\right)
\)
ПРИМЕР
Задача
Найти частное числа комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =\sqrt
\left(\cos \frac{\pi}
+i \sin \frac{\pi}
\right)
\) и \(\
z_
=\sqrt
\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)
$\)
Решение
фактор-комплексных чисел:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \div z_
=\frac{r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }{r_
}\left(\cos \left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -\varphi_
\right)+i \sin \left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -\varphi_
\right)\right)=\frac{\sqrt
}{\sqrt
}\left(\cos \left(\frac{\pi}
-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}
-\frac{\pi}{4}\right)\right)=
\)
\(\
=1 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}
\)
Ответ
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \div z_
=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}
\)
Фактор комплексных чисел в экспоненциальной форме выполняется по формуле:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \div z_
=\frac{r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \cdot e^{i \varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }}{r_
\cdot e^{i \varphi_
}}=\frac{r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }{r_
} \cdot e^{i \varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -i \varphi_
}=\frac{r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }{r_
} \cdot e^{i\left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -\varphi_
\right)}
\)
ПРИМЕР
Задача
Найти частное числа комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =\sqrt
e^{-\frac{\pi}
i}
\) и \(\
z_
=4 e^{-\frac{\pi}{4} i}
\)
Решение
фактор-комплексных чисел:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \div z_
=\frac{r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }{r_
} \cdot e^{i\left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос -\varphi_
\right)}=\frac{\sqrt
}{4} \cdot e^{i\left(-\frac{\pi}
+\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt
}{4} \cdot e^{-\frac{\pi}{4} i}
\)
Ответ
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос \div z_
=\frac{\sqrt
}{4} \cdot e^{-\frac{\pi}{4} i}
\)
Подробнее о разделении комплексных чисел читайте в отдельной статье: Разделение комплексных чисел.
Возведение
Для повышения степени комплексных чисел в тригонометрической форме формула Moivre верна:
\(\
z^{k}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N
\)
В экспоненциальной форме комплексные числа выражаются до мощности по следующей формуле:
\(\
z^{k}=\left(r e^{i \varphi}\right)^{k}=r^{k} e^{i k \varphi}, k \in Z
\)
ПРИМЕР
Задача
Чтобы скомпоновать комплексное число \(\
z=\sqrt
e^{-\frac{\pi}
i}
\)
Решение.
Применяя формулу для возведения в степень, получаем:
\(\
z^
=\left(\sqrt
e^{-\frac{x}
i}\right)^
=(\sqrt
)^
e^{-2 \frac{\pi}
i}=2 e^{-\pi i}
\)
Ответ
\(\
z^
=2 e^{-\pi i}
\)
Извлечение корня из комплексного числа
Чтобы извлечь корень из комплексного числа, формула Моавра применяется так же (если число не равно нулю):
\(\
z^{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {k}}=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {k}}=
\)
ПРИМЕР
Задача
Найти корень третьей степени из числа \(\
z=-1
\).
Решение.
Вначале мы выражаем число \(\
z=-1
\) в тригонометрической форме. Вещественной частью числа \(\
z=-1
\) является число\(\
x=\operatorname{Re} z=-1
\); мнимая часть \(\
y=\operatorname{Im} z=0
\). Чтобы найти тригонометрическую форму написания сложного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.
Модуль комплексного числа \(\
z
\) - это число:
\(\
r=\sqrt{x^
+y^
}=\sqrt{(-1)^
+0^
}=\sqrt{1+0}=1
\)
Аргумент вычисляется по формуле:
\(\
\varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac
{-1}=\operatorname{arctg} 0=\pi
\)
Поэтому тригонометрическая форма комплексного числа равна: \(\
z=1(\cos \pi+i \sin \pi)
\)
Тогда корень 3-й степени выглядит следующим образом:
\(\
z^{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }=(1(\cos \pi+i \sin \pi))^{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }=1^{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }(\cos \pi+i \sin \pi)^{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }=
\)
\(\
=\cos \frac{\pi+2 \pi n}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i \sin \frac{\pi+2 \pi n}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос , n=0,1,2
\)
При \(\
n=0
\) получаем:
\(\
\omega_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =\cos \frac{\pi}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i \sin \frac{\pi}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i \frac{\sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }
\)
При \(\
n=1
\) получаем:
\(\
\omega_
=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1
\)
При \(\
\mathrm{n}=2
\) получаем:
\(\
\omega_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =\cos \frac{5 \pi}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос +i \sin \frac{5 \pi}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i \frac{-\sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }
=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-i \frac{\sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }
\)
Ответ: \(\
\omega_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i \frac{\sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }
, \omega_
=-1, \omega_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос =\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-i \frac{\sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос }
\)
