Операции над комплексными числами

Определить, для каких \(\ x \) и \(\ y \) два комплексных числа \(\ z_{1}=1+y i \) и \(\ z_{2}=x-7 i \) равны.

По определению два комплексных числа равны, если их действительная и мнимая части равны, т. е. \(\ x=1 \), \(\ y=-7 \)

\(\ x=1 \), \(\ y=-7 \)

Два комплексных числа в тригонометрической форме \(\ z_{1}=r_{1}\left(\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}\right) \) и \(\ z_{2}=r_{2}\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right) \) называются равными, если \(\ \left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|, \quad \arg z_{1}=\arg z_{2}+2 \pi n, n \in Z \) То есть, если их модули равны, а аргументы отличаются кратным \(\ 2 \pi \)

Аналогично для чисел в экспоненциальной форме \(\ z_{1}=r_{1} \cdot e^{i \varphi_{1}} \), \(\ z_{2}=r_{2} \cdot e^{i \varphi_{2}} \) : два комплексных числа равны, если \(\ r_{1}=r_{2}, \varphi_{1}=\varphi_{2}+2 \pi n, n \in Z \)

прибавление

Добавление комплексных чисел выполняется в алгебраической форме и определяется следующим образом: сумма чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) - это число

\(\ z_{1}+z_{2}=x_{1}+i y_{1}+x_{2}+i y_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right) \)

Т.е. выполняется прямое суммирование вещественной и мнимой частей.

ПРИМЕР

Найти сумму комплексных чисел , \(\ z_{2}=3+2 i \)

Действительной частью комплекса \(\ z_{1}=-1-3 i \) является число \(\ x_{1}=\mathrm{Re} \), \(\ z_{1}=-1 \) , мнимая часть - это число \(\ y_{1}=\operatorname{Im} \), \(\ z_{1}=-3 \)

Реальная и мнимая части комплексного числа \(\ z_{2}=3+2 i \) равны соответственно \(\ x_{2}=\mathrm{Re} \), \(\ z_{2}=3 \) и \(\ y_{2}=\mathrm{Im} \), \(\ z_{2}=2 \)

Следовательно, сумма комплексных чисел:

\(\ z_{1}+z_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right)=(-1+3)+i(-3+2)=2-i \)

\(\ z_{1}+z_{2}=2-i \)

Вычитание

Вычитание комплексных чисел также выполняется в алгебраической форме. Разница двух чисел $$ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) - это число

\(\ z_{1}-z_{2}=x_{1}+i y_{1}-\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1}-x_{2}+\left(i y_{1}-i y_{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right) \)

Таким образом, чтобы вычесть другое из одного числа, выполняется фактическое вычитание реальной и мнимой частей.

ПРИМЕР

найти разницу сложных чисел \(\ z_{1}=17-35 i \), \(\ z_{2}=15+5 i \)

Найдем вещественную и мнимую части комплексных чисел \(\ z_{1}=17-35 i \) и \(\ z_{2}=15+5 i \) :

\(\ x_{1}=\operatorname{Re} z_{1}=17, y_{1}=\operatorname{Im} z_{1}=-35 \)

\(\ x_{2}=\operatorname{Re} z_{2}=15, y_{2}=\operatorname{Im} z_{2}=5 \)

Поэтому разница комплексных чисел:

\(\ z_{1}-z_{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right)=(17-15)+i(-35-5)=2-40 i \)

\(\ z_{1}-z_{2}=2-40 i \)

Умножение

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) выполняется путем непосредственного рождения чисел в алгебраической форме с учетом свойства мнимой единицы \(\ i^{2}=-1 \):

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} \cdot x_{2}+i^{2} \cdot y_{1} \cdot y_{2}+\left(x_{1} \cdot i y_{2}+x_{2} \cdot i y_{1}\right)= \)

\(\ =\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right) \)

ПРИМЕР

Найти произведение комплексных чисел \(\ z_{1}=1-5 i \), \(\ z_{2}=5+2 i \)

Комплекс комплексных чисел:

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5)=15-23 i \)

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=15-23 i \)

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме справедливо равенство:

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2}\left(\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right) \)

Для получения комплексных чисел в экспоненциальной форме справедливо равенство:

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot e^{i \varphi_{1}} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi_{2}}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi_{1}+i \varphi_{2}}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)} \)

ПРИМЕР

найти продукт комплексных чисел \(\ z_{1}=1-5 i \), \(\ z_{2}=5+2 i \)

Комплекс комплексных чисел:

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5)=15-23 i \)

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=15-23 i \)

Разделение

Фактор комплексных чисел в алгебраической форме \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) определяется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число знаменателя:

\(\ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}+i y_{1}}{x_{2}+i y_{2}}=\frac{\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}{\left(x_{2}+i y_{2}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}=\frac{x_{1} \cdot x_{2}+y_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i \frac{x_{2} \cdot y_{1}-x_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \)

ПРИМЕР

Чтобы разделить число 2 на комплексное число \(\ z=1+2 i \)

Поскольку мнимая часть действительного числа 1 равна нулю, фактор равен:

\(\ \frac{2}{1+2 i}=\frac{2 \cdot 1}{1^{2}+2^{2}}-i \frac{2 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}}=\frac{2}{5}-i \frac{4}{5} \)

\(\ \frac{2}{1+2 i}=\frac{2}{5}-i \frac{4}{5} \)

Фактор комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:

\(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left(\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right) \)

ПРИМЕР

Найти частное числа комплексных чисел \(\ z_{1}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right) \) и \(\ z_{2}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) $\)

фактор-комплексных чисел:

\(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left(\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right)= \)

\(\ =1 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4} \)

\(\ z_{1} \div z_{2}=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4} \)

Фактор комплексных чисел в экспоненциальной форме выполняется по формуле:

\(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1} \cdot e^{i \varphi_{1}}}{r_{2} \cdot e^{i \varphi_{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i \varphi_{1}-i \varphi_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)} \)

ПРИМЕР

Найти частное числа комплексных чисел \(\ z_{1}=\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2} i} \) и \(\ z_{2}=4 e^{-\frac{\pi}{4} i} \)

фактор-комплексных чисел:

\(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot e^{i\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot e^{-\frac{\pi}{4} i} \)

\(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot e^{-\frac{\pi}{4} i} \)

Подробнее о разделении комплексных чисел читайте в отдельной статье: Разделение комплексных чисел.

Возведение

Для повышения степени комплексных чисел в тригонометрической форме формула Moivre верна:

\(\ z^{k}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)

В экспоненциальной форме комплексные числа выражаются до мощности по следующей формуле:

\(\ z^{k}=\left(r e^{i \varphi}\right)^{k}=r^{k} e^{i k \varphi}, k \in Z \)

ПРИМЕР

Чтобы скомпоновать комплексное число \(\ z=\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2} i} \)

Применяя формулу для возведения в степень, получаем:

\(\ z^{2}=\left(\sqrt{2} e^{-\frac{x}{2} i}\right)^{2}=(\sqrt{2})^{2} e^{-2 \frac{\pi}{2} i}=2 e^{-\pi i} \)

\(\ z^{2}=2 e^{-\pi i} \)

Извлечение корня из комплексного числа

Чтобы извлечь корень из комплексного числа, формула Моавра применяется так же (если число не равно нулю):

\(\ z^{\frac{1}{k}}=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^{\frac{1}{k}}= \)

ПРИМЕР

Найти корень третьей степени из числа \(\ z=-1 \).

Вначале мы выражаем число \(\ z=-1 \) в тригонометрической форме. Вещественной частью числа \(\ z=-1 \) является число\(\ x=\operatorname{Re} z=-1 \); мнимая часть \(\ y=\operatorname{Im} z=0 \). Чтобы найти тригонометрическую форму написания сложного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.

Модуль комплексного числа \(\ z \) - это число:

\(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+0}=1 \)

Аргумент вычисляется по формуле:

\(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{0}{-1}=\operatorname{arctg} 0=\pi \)

Поэтому тригонометрическая форма комплексного числа равна: \(\ z=1(\cos \pi+i \sin \pi) \)

Тогда корень 3-й степени выглядит следующим образом:

\(\ z^{\frac{1}{3}}=(1(\cos \pi+i \sin \pi))^{\frac{1}{3}}=1^{\frac{1}{3}}(\cos \pi+i \sin \pi)^{\frac{1}{3}}= \)

\(\ =\cos \frac{\pi+2 \pi n}{3}+i \sin \frac{\pi+2 \pi n}{3}, n=0,1,2 \)

При \(\ n=0 \) получаем:

\(\ \omega_{1}=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} \)

При \(\ n=1 \) получаем:

\(\ \omega_{2}=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)

При \(\ \mathrm{n}=2 \) получаем:

\(\ \omega_{3}=\cos \frac{5 \pi}{3}+i \sin \frac{5 \pi}{3}=\frac{1}{2}+i \frac{-\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} \)