Узнать цену работы
Статьи по теме

Операции над матрицами и их свойства

Вы можете выполнять определенные действия над матрицами, которые по аналогии с числами называются сложение, вычитание и умножение. Существует также действие, которое определяется только для матриц - это транспонирование матриц и нахождение обратной матрицы для данного.

Сложение и вычитание матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сумма двух матриц \(\ A=\left(a_{i j}\right) \) и \(\ B=\left(b_{i j}\right) \) того же порядка называется матрицей \(\ C=\left(c_{i j}\right) \) того же порядка, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B, т.е. , \(\ c_{i j}=a_{i j}+b_{i j} \)

Аналогично, разность двух матриц \(\ A=\left(a_{i j}\right) \) и \(\ B=\left(b_{i j}\right) \) того же порядка называется матрицей \(\ C=\left(c_{i j}\right) \) того же порядка, элементы которой равны разностям соответствующих элементов матриц A и B, т.е. , \(\ c_{i j}=a_{i j}-b_{i j} \).

Свойства операций сложения и вычитания матриц

\(\ A+(B+C)=(A+B)+C \)

\(\ A+B=B+A \)

\(\ A+(B+C)=(A+B)+C \)

\(\ A+B=B+A \)

\(\ A+\theta=A \)

\(\ A-\theta=A \)

\(\ A-A=\theta \)

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найдите сумму и разность матриц A и B, если

    \(\ A=\left(\begin{array}{cc}{12} & {2} \\ {-3} & {4} \\ {0} & {7}\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}{-4} & {8} \\ {-3} & {6} \\ {10} & {1}\end{array}\right) \)

  • Решение.

    Мы находим сумму данных матриц, для чего добавляем соответствующие элементы этих матриц:

    \(\ A+B=\left(\begin{array}{cc}{12+(-4)} & {2+8} \\ {-3+(-3)} & {4+6} \\ {0+10} & {7+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{8} & {10} \\ {-6} & {10} \\ {10} & {8}\end{array}\right) \)

    Найти разность A-B, для этого вычитаем из элементов матрицы A соответствующие элементы матрицы B:

    \(\ A-B=\left(\begin{array}{cc}{12-(-4)} & {2-8} \\ {-3-(-3)} & {4-6} \\ {0-10} & {7-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{16} & {-6} \\ {0} & {-2} \\ {-10} & {6}\end{array}\right) \)

  • Ответ

    \(\ A+B=\left(\begin{array}{cc}{8} & {10} \\ {-6} & {10} \\ {10} & {8}\end{array}\right), A-B=\left(\begin{array}{cc}{16} & {-6} \\ {0} & {-2} \\ {-10} & {6}\end{array}\right) \)

    Матричное умножение на число

    Произведением матрицы \(\ A=\left(a_{i j}\right) \) числом k является матрица \(\ C=\left(c_{i j}\right) \) того же порядка, что и матрица A, элементы которой получаются путем умножения соответствующих элементов матриц A на число k, т. е. \(\ c_{i j}=k \cdot a_{i j} \)

    Свойства операции умножения матрицы на число

    \(\ 1 \cdot A=A \)

    \(\ 0 \cdot A=\theta \)

    \(\ m \cdot(k \cdot A)=(m \cdot k) \cdot A \)

    \(\ (m+k) \cdot A=m \cdot A+k \cdot A \)

    \(\ k \cdot(A+B)=k \cdot A+k \cdot B \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    поиска работы \(\ 2 \cdot A \)

    \(\ A=\left(\begin{array}{cc}{-2} & {1} \\ {0} & {4}\end{array}\right) \)

  • Решение

    Умножьте каждый элемент заданной матрицы на 2:

    \(\ 2 \cdot A=\left(\begin{array}{cc}{2 \cdot(-2)} & {2 \cdot 1} \\ {2 \cdot 0} & {2 \cdot 4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{-4} & {2} \\ {0} & {8}\end{array}\right) \)

  • Ответ

    \(\ 2 \cdot A=\left(\begin{array}{cc}{-4} & {2} \\ {0} & {8}\end{array}\right) \)

    Матричное умножение

    Если число столбцов матрицы \(\ (k \times n) \) равно числу строк матрицы \(\ (n \times p) \) ,то для них определяется матрица C размерности \(\ (k \times p) \) , которая называется ее продуктом. Элементы матрицы C находятся по правилу: элемент \(\ c_{i j} \) равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B:

    \(\ c_{i j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\ldots+a_{i n} b_{n j}=\sum_{s=1}^{n} a_{s n} b_{s j} \)

    Свойства операции умножения матрицы

    \(\ A \cdot(B \cdot C)=(A \cdot B) \cdot C \)

    \(\ k \cdot(A \cdot B)=(k \cdot A) \cdot B \)

    \(\ (A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C \)

    \(\ C \cdot(A+B)=C \cdot A+C \cdot B \)

    КОММЕНТАРИЙ

    В общем случае для произвольных матриц \(\ A \) и \(\ B, A \cdot B \neq B \cdot A \) . Если это равенство имеет место \(\ A \cdot B=B \cdot A \) , то матрицы \(\ \mathrm{A} \) и \(\ \mathrm{В} \) называются коммутативными. Единичная матрица \(\ E \) коммутативна с любым другим, т. е. \(\ E \cdot A=A \cdot E=A \) и играет роль единицы при умножении.

    ПРИМЕР 3

  • Задача

    Чтобы найти произведение матриц \(\ A \cdot B \) и \(\ B \cdot A \) , если

    \(\ A=\left(\begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {3} & {4}\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}{5} & {6} \\ {7} & {8}\end{array}\right) \)

  • Решение

    Согласно правилу матричного умножения,

    \(\ A \cdot B=\left(\begin{array}{lll}{1 \cdot 5+2 \cdot 7} & {1 \cdot 6+2 \cdot 8} \\ {3 \cdot 5+4 \cdot 7} & {3 \cdot 6+4 \cdot 8}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{19} & {22} \\ {43} & {50}\end{array}\right) \)

    \(\ B \cdot A=\left(\begin{array}{lll}{5 \cdot 1+6 \cdot 3} & {5 \cdot 2+6 \cdot 4} \\ {7 \cdot 1+8 \cdot 3} & {7 \cdot 2+8 \cdot 4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{23} & {34} \\ {31} & {46}\end{array}\right) \)

    Как видно \(\ A \cdot B \neq B \cdot A \)

  • Ответ

    \(\ A \cdot B=\left(\begin{array}{cc}{19} & {22} \\ {43} & {50}\end{array}\right) ; B \cdot A=\left(\begin{array}{cc}{23} & {34} \\ {31} & {46}\end{array}\right) \)

    ПРИМЕР 4

  • Задание

    Проверьте, существуют ли работы \(\ A \cdot B \) и \(\ B \cdot A \) ,если

    \(\ A=\left(\begin{array}{lll}{1} & {3} & {2} \\ {6} & {4} & {5}\end{array}\right) ; \qquad B=\left(\begin{array}{lll}{3} & {2} & {1} \\ {2} & {1} & {3} \\ {4} & {3} & {0}\end{array}\right) \)

  • Решение

    Число столбцов матрицы \(\ A c \) совпадает с числом строк матрицы \(\ В c \), поэтому вы можете найти произведение матрицы \(\ A \cdot B \) :

    \(\ A \cdot B=\left(\begin{array}{lll}{1} & {3} & {2} \\ {6} & {4} & {5}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{lll}{3} & {2} & {1} \\ {2} & {1} & {3} \\ {4} & {3} & {0}\end{array}\right)= \)

    \(\ =\left(\begin{array}{lll}{1 \cdot 3+3 \cdot 2+2 \cdot 4} & {1 \cdot 2+3 \cdot 1+2 \cdot 3} & {1 \cdot 1+3 \cdot 3+2 \cdot 0} \\ {6 \cdot 3+4 \cdot 2+5 \cdot 4} & {6 \cdot 2+4 \cdot 1+5 \cdot 3} & {6 \cdot 1+4 \cdot 3+5 \cdot 0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{17} & {11} & {10} \\ {46} & {31} & {18}\end{array}\right) \)

    Невозможно найти произведение \(\ B \cdot A \) ,так как число столбцов матрицы \(\ B \) не совпадает с числом строк матрицы \(\ А \).

  • Ответ

    \(\ A \cdot B=\left(\begin{array}{ccc}{17} & {11} & {10} \\ {46} & {31} & {18}\end{array}\right), B \cdot A \)

    Матричная транспозиция

    Если в матрице \(\ A=\left(a_{i j}\right) \) размерности $\(\ (m \times n) \) заменить строки столбцами соответствующими числами, то мы получим транспонированную матрицу \(\ A^{T} \) размерности \(\ (n \times m) \)

    Свойства транспонированной матрицы

    Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице

    \(\ A^{T T}=\left(A^{T}\right)^{T}=A \)

    транспонированная суммарная матрица равна сумме транспонированных матриц

    \(\ (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T} \)

    Транспонированная матрица произведения равна произведению транспонированной матрицы коэффициентов, принятых в обратном порядке.

    \(\ (A \cdot B)^{T}=B^{T} \cdot A^{T} \)

    ПРИМЕР 5

  • Задание

    Матрица преобразования задачи \(\ A=\left(\begin{array}{cccc}{4} & {2} & {-1} & {1} \\ {1} & {0} & {5} & {-7}\end{array}\right) \)

  • Решение.

    Напишите строки данной матрицы в столбцах

    \(\ A^{T}=\left(\begin{array}{cc}{4} & {1} \\ {2} & {0} \\ {-1} & {5} \\ {1} & {-7}\end{array}\right) \)

  • Ответ

    \(\ A^{T}=\left(\begin{array}{cc}{4} & {1} \\ {2} & {0} \\ {-1} & {5} \\ {1} & {-7}\end{array}\right) \)

    обратная матрица

    Для невырожденной квадратной матрицы \(\ \operatorname{det} A \neq 0 \) существует обратная матрица \(\ A^{-1} \) такая, что \(\ A \cdot A^{-1}=A^{-1} \cdot A=E \) .Вы можете найти обратную матрицу по формуле

    \(\ A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A}\left(\begin{array}{cccc}{A_{11}} & {A_{21}} & {\dots} & {A_{n 1}} \\ {A_{12}} & {A_{22}} & {\dots} & {A_{n 2}} \\ {\ldots} & {\ldots} & {\cdots} & {} \\ {A_{1 n}} & {A_{2 n}} & {\dots} & {A_{n n}}\end{array}\right) \)

    где\(\ \operatorname{det} A \neq 0 \)- алгебраическое дополнение элементов \(\ A^{-1} \) матрицы А. Если матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы обозначить \(\ A \cdot A^{-1}=A^{-1} \cdot A=E \) ,то последняя формула примет вид

    \(\ A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A}\left(A^{*}\right)^{T} \)

    Свойства обратных матриц

    \(\ \left(A^{-1}\right)^{-1}=A \)

    \(\ (A \cdot B)^{-1}=A^{-1} \cdot B^{-1} \)

    \(\ \left(A^{-1}\right)^{T} \cdot A^{T}=\left(A \cdot A^{-1}\right)^{T}=E^{T}=E \)

    \(\ \left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1} \)

    \(\ \operatorname{det} A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A} \)

    ПРИМЕР 6

  • Задача Найдите обратную матрицу в матрицу A

    \(\ A=\left(\begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {1} & {-4}\end{array}\right) \)

  • Решение

    Рассчитать детерминант заданной матрицы

    \(\ \operatorname{det} A=\left|\begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {1} & {-4}\end{array}\right|=(-1) \cdot(-4)-1 \cdot 2=4-2=2 \)

    Детерминант не равен нулю, поэтому матрица \(\ \mathrm{A} \) невырождена и для нее существует обратная матрица \(\ A^{-1} \) .Найти алгебраические дополнения к элементам матрицы A:

    \(\ A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot|-4|=-4 \), \(\ A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot|1|=-1 \)

    \(\ A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot|2|=-2 \), \(\ A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot|-1|=-1 \)

    Сделать матрицу алгебраических дополнений

    \(\ A^{*}=\left(\begin{array}{cc}{-4} & {-1} \\ {-2} & {1}\end{array}\right) \)

    Транспонировать ее

    \(\ \left(A^{*}\right)^{T}=\left(\begin{array}{cc}{-4} & {-2} \\ {-1} & {1}\end{array}\right) \)

    Используя формулу \(\ A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A}\left(A^{*}\right)^{T} \),запишем искомую обратную матрицу

    \(\ A^{-1}=\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{cc}{-4} & {-2} \\ {-1} & {1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{-2} & {-1} \\ {-1 / 2} & {1 / 2}\end{array}\right) \)

  • Ответ

    \(\ A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{-2} & {-1} \\ {-1 / 2} & {1 / 2}\end{array}\right) \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы