Определенный интеграл
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определенный интеграл функции \(\
f(x)
\) на отрезке \(\
[a ; b]
\) является пределом интегральных сумм, когда диаметр разбиения стремится к нулю, если он существует независимо от разбиения и выбора точек внутри элементарных отрезков:
\(\
\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\Delta x_{i} \rightarrow 0} \sum_{i=0}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}
\)
Например: \(\
\int_{0}^{1} x^{2} d x=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{3} \cdot\left(1^{3}-0^{3}\right)=\frac{1}{3}
\)
Детальный анализ понятия «определенного интеграла»
Рассмотрим функцию \(\
y=f(x)
\) , определенную и непрерывную на некотором интервале \(\
[a ; b]
\) . Выполните разбиение данного сегмента с помощью точек \(\
x_{0}=a Такая сумма \(\
\sigma
\) называется интегральной суммой функции \(\
y=f(x)
\) на интервале \(\
[a ; b]
\)
Пусть \(\
d
\) - длина наибольшего частичного отрезка: \(\
d=\max _{i=\overline{1 ; n}} \Delta x_{i}
\) . Если предел I интегральной суммы \(\
\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \cdot \Delta x_{i}
\) , когда максимальный диаметр перегородки \(\
d \rightarrow 0
\) не зависит от метода деления сегмента \(\
[a ; b]
\) на частичные отрезки или на выбор точек \(\
\xi_{i}
\) в них , то число I называется определенным интегралом от данной функции \(\
y=f(x)
\) на отрезке \(\
[a ; b]
\) и обозначается \(\
\int_{a}^{b} f(x) d x
\) , т. е.
\(\
\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{d \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}
\)
Здесь числа \(\
\mathrm{a}
\) и \(\
\mathrm{b}
\) называются верхним и нижним пределами интегрирования соответственно; \(\
f(x)
\) - подынтегральная функция; \(\
f(x) d x
\) - подынтегральное выражение; \(\
x
\) - переменная интегрирования; \(\
[a ; b]
\)- область или сегмент интегрирования.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
\(\
\int_{0}^{1} a^{x} d x,(a>0)
\)
На сегменте \(\
[0 ; 1]
\) функция \(\
f(x)=a^{x}
\) непрерывна. Согласно определению
\(\
\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{d \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}
\)
Разделим сегмент интегрирования \(\
[0 ; 1]
\) на \(\
\mathrm{n}
\) равных частей. Поскольку длина указанного отрезка \(\
\Delta x=1-0=1
\) , длина элементарного (частичного) сегмента равна
\(\
\Delta x_{i}=\frac{1}{n} \Rightarrow d=\max _{i}\left\{\Delta x_{i}\right\}=\frac{1}{n}
\)
и расщепление
В качестве \(\
\xi_{i} \in\left[x_{i-1} ; x_{i}\right]
\) выберите правый конец частичного интервала:
\(\
\xi_{i}=x_{i}=\frac{i}{n}
\)
Тогда мы имеем:
\(\
\int_{0}^{1} a^{x} d x=\lim _{d=\frac{1}{n} \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}\left\|\frac{1}{n} \rightarrow 0 \Rightarrow\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a^{\frac{i}{n}}=
\)
\(\
=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{2}{n}}+\ldots+a^{\frac{n}{n}}}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{\frac{1}{n}}+\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{2}+\ldots+\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{n}}{n}
\)
Выражение в числителе фракции представляет собой сумму геометрической прогрессии, для которой \(\
b_{1}=q=a^{\frac{1}{n}}
\) . Сумма этой прогрессии рассчитывается по формуле:
\(\
S_{n}=\frac{b_{1}\left(q^{n}-1\right)}{q-1}
\)
Тогда мы получим:
\(\
\int_{0}^{1} a^{x} d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{\frac{1}{n}}\left(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{n}-1\right)}{n\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{\frac{1}{n}}(a-1)}{n\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)}\left\|_{t \rightarrow 0}^{n=\frac{1}{t}}\right\|=
\)
\(\
=(a-1) \lim _{t \rightarrow 0} \frac{t a^{t}}{a^{t}-1}\left\|\begin{array}{c}{\alpha(x) \rightarrow 0} \\ {a^{\alpha(x)}-1 \tilde{\alpha}(x) \ln a}\end{array}\right\|=(a-1) \lim _{t \rightarrow 0} \frac{t a^{t}}{t \ln a}=\frac{a-1}{\ln a} \lim _{t \rightarrow 0} a^{t}=
\)
\(\
=\frac{a-1}{\ln a} \cdot a^{0}=\frac{a-1}{\ln a}
\)
\(\
\int_{0}^{1} a^{x} d x=\frac{a-1}{\ln a}
\)
Функция \(\
y=f(x)
\) называется интегрируемой на отрезке \(\
[a ; b]
\) , если для нее на этом отрезке существует определенный интеграл \(\
\int_{a}^{b} f(x) d x
\)
ПРИМЕР 2
Чтобы исследовать функцию \(\
f(x)=C=\mathrm{const}
\) на интегрируемость на отрезке \(\
[a ; b]
\)
Рассмотрим разбиение \(\
\left\{x_{i}\right\}
\) данного интервала \(\
[a ; b]
\) и некоторые промежуточные точки \(\
\left\{\xi_{i}\right\}
\) этого разбиения:\(\
\xi_{i} \in\left[x_{i-1} ; x_{i}\right]
\).
Составить интегральную сумму
\(\
\sigma=\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}=\sum_{i=1}^{n} C \cdot \Delta x_{i}=C \cdot \sum_{i=1}^{n} \Delta x_{i}=C(b-a)
\)
Предел этой интегральной суммы
\(\
\lim _{d \rightarrow 0} \sigma=\lim _{d \rightarrow 0} C(b-a)=C(b-a)
\)
Этот предел не зависит от разбиения и выбора промежуточных точек, поэтому функция \(\
f(x)=C=\mathrm{const}
\) интегрируема на отрезке \(\
[a ; b]
\)
Теорема
Теорема Коши. Если функция \(\
y=f(x)
\) непрерывна на некотором отрезке \(\
[a ; b]
\) , то на этом отрезке она также интегрируема.