Узнать цену работы
Статьи по теме

Определенный интеграл

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Определенный интеграл функции \(\ f(x) \) на отрезке \(\ [a ; b] \) является пределом интегральных сумм, когда диаметр разбиения стремится к нулю, если он существует независимо от разбиения и выбора точек внутри элементарных отрезков:

\(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\Delta x_{i} \rightarrow 0} \sum_{i=0}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \)

Например: \(\ \int_

Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
^
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
x^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
d x=\left.\frac{x^
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right|_
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
^
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=\frac
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot\left(1^
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-0^
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right)=\frac
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\)

Детальный анализ понятия «определенного интеграла»

Рассмотрим функцию \(\ y=f(x) \) , определенную и непрерывную на некотором интервале \(\ [a ; b] \) . Выполните разбиение данного сегмента с помощью точек \(\ x_

Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
=a
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
<\ldots
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
;} & {x_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}\end{array}\right] \) . На каждом частном сегменте \(\ \left[x_{i-1} ; x_{i}\right], \quad i=\overline{1 ; n} \) выберем произвольную точку \(\ \xi_{i} \in\left[x_{i-1} ; x_{i}\right] \) и вычислим в ней значение \(\ f\left(\xi_{i}\right) \) данной функции. Умножьте значение, полученное длиной \(\ \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} \) соответствующего частичного сегмента: \(\ f\left(\xi_{i}\right) \cdot \Delta x_{i} \) .Сделайте сумму всех таких работ:

\(\ \sigma=\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \cdot \Delta x_{i}=f\left(\xi_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \cdot \Delta x_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+f\left(\xi_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\right) \cdot \Delta x_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+\ldots+f\left(\xi_{n}\right) \cdot \Delta x_{n} \)

Такая сумма \(\ \sigma \) называется интегральной суммой функции \(\ y=f(x) \) на интервале \(\ [a ; b] \)

Пусть \(\ d \) - длина наибольшего частичного отрезка: \(\ d=\max _{i=\overline{1 ; n}} \Delta x_{i} \) . Если предел I интегральной суммы \(\ \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \cdot \Delta x_{i} \) , когда максимальный диаметр перегородки \(\ d \rightarrow 0 \) не зависит от метода деления сегмента \(\ [a ; b] \) на частичные отрезки или на выбор точек \(\ \xi_{i} \) в них , то число I называется определенным интегралом от данной функции \(\ y=f(x) \) на отрезке \(\ [a ; b] \) и обозначается \(\ \int_{a}^{b} f(x) d x \) , т. е.

\(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{d \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \)

Здесь числа \(\ \mathrm{a} \) и \(\ \mathrm{b} \) называются верхним и нижним пределами интегрирования соответственно; \(\ f(x) \) - подынтегральная функция; \(\ f(x) d x \) - подынтегральное выражение; \(\ x \) - переменная интегрирования; \(\ [a ; b] \)- область или сегмент интегрирования.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача состоит в том, чтобы найти интеграл по определению.

    \(\ \int_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    a^{x} d x,(a>0) \)

  • Решение.

    На сегменте \(\ [0 ; 1] \) функция \(\ f(x)=a^{x} \) непрерывна. Согласно определению

    \(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{d \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \)

    Разделим сегмент интегрирования \(\ [0 ; 1] \) на \(\ \mathrm{n} \) равных частей. Поскольку длина указанного отрезка \(\ \Delta x=1-0=1 \) , длина элементарного (частичного) сегмента равна

    \(\ \Delta x_{i}=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n} \Rightarrow d=\max _{i}\left\{\Delta x_{i}\right\}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n} \)

    и расщепление

    В качестве \(\ \xi_{i} \in\left[x_{i-1} ; x_{i}\right] \) выберите правый конец частичного интервала:

    \(\ \xi_{i}=x_{i}=\frac{i}{n} \)

    Тогда мы имеем:

    \(\ \int_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    a^{x} d x=\lim _{d=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n} \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \cdot \frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n}\left\|\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n} \rightarrow 0 \Rightarrow\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n} \sum_{i=1}^{n} a^{\frac{i}{n}}= \)

    \(\ =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n}}+a^{\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {n}}+\ldots+a^{\frac{n}{n}}}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n}}+\left(a^{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n}}\right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +\ldots+\left(a^{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n}}\right)^{n}}{n} \)

    Выражение в числителе фракции представляет собой сумму геометрической прогрессии, для которой \(\ b_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =q=a^{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n}} \) . Сумма этой прогрессии рассчитывается по формуле:

    \(\ S_{n}=\frac{b_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left(q^{n}-1\right)}{q-1} \)

    Тогда мы получим:

    \(\ \int_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    a^{x} d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n}}\left(\left(a^{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n}}\right)^{n}-1\right)}{n\left(a^{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n}}-1\right)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n}}(a-1)}{n\left(a^{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {n}}-1\right)}\left\|_{t \rightarrow 0}^{n=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {t}}\right\|= \)

    \(\ =(a-1) \lim _{t \rightarrow 0} \frac{t a^{t}}{a^{t}-1}\left\|\begin{array}{c}{\alpha(x) \rightarrow 0} \\ {a^{\alpha(x)}-1 \tilde{\alpha}(x) \ln a}\end{array}\right\|=(a-1) \lim _{t \rightarrow 0} \frac{t a^{t}}{t \ln a}=\frac{a-1}{\ln a} \lim _{t \rightarrow 0} a^{t}= \)

    \(\ =\frac{a-1}{\ln a} \cdot a^

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{a-1}{\ln a} \)

  • Ответ

    \(\ \int_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    a^{x} d x=\frac{a-1}{\ln a} \)

    Функция \(\ y=f(x) \) называется интегрируемой на отрезке \(\ [a ; b] \) , если для нее на этом отрезке существует определенный интеграл \(\ \int_{a}^{b} f(x) d x \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Чтобы исследовать функцию \(\ f(x)=C=\mathrm{const} \) на интегрируемость на отрезке \(\ [a ; b] \)

  • Решение.

    Рассмотрим разбиение \(\ \left\{x_{i}\right\} \) данного интервала \(\ [a ; b] \) и некоторые промежуточные точки \(\ \left\{\xi_{i}\right\} \) этого разбиения:\(\ \xi_{i} \in\left[x_{i-1} ; x_{i}\right] \).

    Составить интегральную сумму

    \(\ \sigma=\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}=\sum_{i=1}^{n} C \cdot \Delta x_{i}=C \cdot \sum_{i=1}^{n} \Delta x_{i}=C(b-a) \)

    Предел этой интегральной суммы

    \(\ \lim _{d \rightarrow 0} \sigma=\lim _{d \rightarrow 0} C(b-a)=C(b-a) \)

    Этот предел не зависит от разбиения и выбора промежуточных точек, поэтому функция \(\ f(x)=C=\mathrm{const} \) интегрируема на отрезке \(\ [a ; b] \)

  • Ответ Функция интегрируема.

    Теорема

    Теорема Коши. Если функция \(\ y=f(x) \) непрерывна на некотором отрезке \(\ [a ; b] \) , то на этом отрезке она также интегрируема.