Узнать цену работы
Статьи по теме

Основные теоремы о пределах функции

Теорема 1

(О предельном переходе в равенстве). Если значения функций \(\ f(x) \) и \(\ g(x) \) в окрестности некоторой точки а равны, то их пределы в этой точке совпадают:

\(\ f(x)=g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} g(x) \)

Теорема 2

(О предельном переходе в неравенстве). Если в окрестности некоторой точки а значения функции \(\ f(x) \) не превышают соответствующих значений функции \(\ g(x) \) , то предел функции \(\ f(x) \) в этой точке не превосходит предела функции \(\ g(x) \) в той же точке:

\(\ f(x) \leq g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a} f(x) \leq \lim _{x \rightarrow a} g(x) \)

Теорема 3

Предел константы равен этой константе:

\(\ \lim _{x \rightarrow a} C=C, C= const \)

  • Пример: \(\ \lim _{x \rightarrow 10} 13=13 \)

    Теорема 4

    Если функция \(\ f(x) \) имеет предел, то она единственна.

    Теорема 5

    Если каждый член в сумме разности функций имеет предел в \(\ x \rightarrow a \) , то сумма разность имеет предел \(\ \boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{a} \) , а предел суммы разности равен сумме разности пределов от каждого функций:

    \(\ \lim _{x \rightarrow a}[f(x)+g(x)-h(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x)+\lim _{x \rightarrow a} g(x)-\lim _{x \rightarrow a} h(x) \)

  • Пример:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{2}-3 x+2\right)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}-\lim _{x \rightarrow 0} 3 x+\lim _{x \rightarrow 0} 2=0^{2}-3 \cdot 0+2=2 \)

    Теорема 6

    Если каждая из функций конечного произведения имеет предел в \(\ x \rightarrow a \) , то произведение имеет предел \(\ x \rightarrow a \) , а предел произведения равен произведению пределов:

    \(\ \lim _{x \rightarrow a}[f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} g(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} h(x) \)

  • Пример:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{2} \cdot \sin x\right)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \sin x=0^{2} \cdot \sin 0=0 \)

    Теорема 7

    Из знака предела можно вычесть постоянный множитель:

    \(\ \lim _{x \rightarrow a} C f(x)=C \lim _{x \rightarrow a} f(x) \)

  • Пример:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 1} 2 x^{2}=2 \lim _{x \rightarrow 1} x^{2}=2 \cdot 1^{2}=2 \)

    Теорема 8

    Если функции \(\ f(x) \) и \(\ g(x) \) имеют предел в \(\ x \rightarrow a \) и \(\ \lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0 \) , то их отношение имеет предел в \(\ x \rightarrow a \) , а предел частного равен частным пределам:

    \(\ \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)} ; \lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0 \)

  • Пример:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+1}{x^{2}-3}=\frac{\lim _{x \rightarrow 2}(x+1)}{\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}-3\right)}=\frac{2+1}{2^{2}-3}=\frac{3}{4-3}=\frac{3}{1}=3 \)

    Теорема 9

    Если функция \(\ f(x) \) имеет предел \(\ b \) с \(\ x \rightarrow+\infty \) , то ее можно представить в виде суммы числа \(\ \mathrm{b} \) и бесконечно малой функции с \(\ x \rightarrow+\infty \) .

    Теорема 10

    Если функцию \(\ f(x) \) можно представить в виде суммы некоторого числа \(\ \mathrm{b} \) и некоторой бесконечно малой функции с \(\ x \rightarrow+\infty \) , то указанное число \(\ \mathrm{b} \) является пределом функции \(\ f(x) \) с \(\ x \rightarrow+\infty \).

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ