Основные теоремы о пределах функции
Теорема 1
(О предельном переходе в равенстве). Если значения функций
\(\
f(x)
\) и \(\
g(x)
\) в окрестности некоторой точки а равны, то их пределы в этой точке совпадают:
\(\
f(x)=g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} g(x)
\)
Теорема 2
(О предельном переходе в неравенстве). Если в окрестности некоторой точки а значения функции \(\
f(x)
\) не превышают соответствующих значений функции \(\
g(x)
\) , то предел функции \(\
f(x)
\) в этой точке не превосходит предела функции \(\
g(x)
\) в той же точке:
\(\
f(x) \leq g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a} f(x) \leq \lim _{x \rightarrow a} g(x)
\)
Теорема 3
Предел константы равен этой константе:
\(\
\lim _{x \rightarrow a} C=C, C= const
\)
Пример: \(\
\lim _{x \rightarrow 10} 13=13
\)
Теорема 4
Если функция \(\
f(x)
\) имеет предел, то она единственна.
Теорема 5
Если каждый член в сумме разности функций имеет предел в \(\
x \rightarrow a
\) , то сумма разность имеет предел \(\
\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{a}
\) , а предел суммы разности равен сумме разности пределов от каждого функций:
\(\
\lim _{x \rightarrow a}[f(x)+g(x)-h(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x)+\lim _{x \rightarrow a} g(x)-\lim _{x \rightarrow a} h(x)
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{2}-3 x+2\right)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}-\lim _{x \rightarrow 0} 3 x+\lim _{x \rightarrow 0} 2=0^{2}-3 \cdot 0+2=2
\)
Теорема 6
Если каждая из функций конечного произведения имеет предел в \(\
x \rightarrow a
\) , то произведение имеет предел \(\
x \rightarrow a
\) , а предел произведения равен произведению пределов:
\(\
\lim _{x \rightarrow a}[f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} g(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} h(x)
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{2} \cdot \sin x\right)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \sin x=0^{2} \cdot \sin 0=0
\)
Теорема 7
Из знака предела можно вычесть постоянный множитель:
\(\
\lim _{x \rightarrow a} C f(x)=C \lim _{x \rightarrow a} f(x)
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 1} 2 x^{2}=2 \lim _{x \rightarrow 1} x^{2}=2 \cdot 1^{2}=2
\)
Теорема 8
Если функции \(\
f(x)
\) и \(\
g(x)
\) имеют предел в \(\
x \rightarrow a
\) и \(\
\lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0
\) , то их отношение имеет предел в \(\
x \rightarrow a
\) , а предел частного равен частным пределам:
\(\
\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)} ; \lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+1}{x^{2}-3}=\frac{\lim _{x \rightarrow 2}(x+1)}{\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}-3\right)}=\frac{2+1}{2^{2}-3}=\frac{3}{4-3}=\frac{3}{1}=3
\)
Теорема 9
Если функция \(\
f(x)
\) имеет предел \(\
b
\) с \(\
x \rightarrow+\infty
\) , то ее можно представить в виде суммы числа \(\
\mathrm{b}
\) и бесконечно малой функции с \(\
x \rightarrow+\infty
\) .
Теорема 10
Если функцию \(\
f(x)
\) можно представить в виде суммы некоторого числа \(\
\mathrm{b}
\) и некоторой бесконечно малой функции с \(\
x \rightarrow+\infty
\) , то указанное число \(\
\mathrm{b}
\) является пределом функции \(\
f(x)
\) с \(\
x \rightarrow+\infty
\).