Основное тригонометрическое тождество
Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла. Сформулируем его: для любого угла \(\ \alpha \) справедливо: \(\ \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 \)
Рис. 1
Доказательство тождества
Рассмотрим тригонометрическую окружность (рис. 1). Выберем произвольный угол \(\ \alpha \) , тогда \(\ \cos \alpha=x_{0}=O B \) , а \(\ \sin \alpha=y_{0}=A B \). В \(\ \Delta A B O \quad A O=1 \) , как радиус единичной окружности. Так как треугольник \(\ \Delta A B O \)прямоугольный, то для него можно записать теорему Пифагора: \(\ O B^{2}+A B^{2}=A O^{2} \)
Учитывая, что \(\ O B=\cos \alpha \), \(\ A B=\sin \alpha \) и \(\ A O=1 \) , получаем \(\ \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 \)
Что и требовалось доказать.
Следствие 1.
Основное тригонометрическое тождество позволяет находить синус угла по известному косинусу или, наоборот, косинус угла по известному синусу. Справедливы формулы \(\ \cos \alpha=\pm \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha_{i}} \); \(\ \sin \alpha=\pm \sqrt{1-\cos ^{2} \alpha} \)
Но для определения знака искомой тригонометрической функции требуется дополнительная информация о величине угла (например, в какой четверти расположен угол \(\ \alpha \) .
Следствие 2.
Из основного тригонометрического тождества можно вывести две формулы, связывающие соответственно косинус с тангенсом и синус с котангенсом.
1. Пусть \(\ \alpha \neq \frac{\pi}{2}+\pi n \), \(\ (n \in Z) \) тогда \(\ \cos \alpha \neq 0 \) . Разделим обе части основного тригонометрического тождества на \(\ \cos ^{2} \alpha \) : \(\ \frac{\sin ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha}+\frac{\cos ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha}=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha} \) после преобразования получим \(\ \operatorname{tg}^{2} \alpha+1=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha} \)
2. Пусть \(\ \alpha \neq \pi n \) тогда \(\ (n \in Z) \) .Разделим обе части основного тригонометрического тождества на \(\ \sin ^{2} \alpha \) : \(\ \frac{\sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha}+\frac{\cos ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha}=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha} \)
после преобразования получим \(\ \operatorname{tg}^{2} \alpha+1=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha} \)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Найти значение \(\
\cos \alpha
\) если \(\
\sin \alpha=\frac{3}{5}
\) и \(\
0<\alpha<\frac{\pi}{2}
\)
По следствию 1 из основного тригонометрического тождества имеем
\(\
\cos \alpha=\pm \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}
\)
Подставляя в эту формулу заданное значение \(\
\sin \alpha=\frac{3}{5}
\) , получаем
\(\
\cos \alpha=\pm \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\pm \sqrt{1-\frac{9}{25}}=\pm \sqrt{\frac{25-9}{25}}=\pm \sqrt{\frac{16}{25}}=\pm \frac{4}{5}
\)
Рис. 2
Далее для определения знака косинуса, используем дополнительное условие, что \(\
0<\alpha<\frac{\pi}{2}
\) . Значит, угол \(\
\mathrm{Q}
\) находится в первой четверти тригонометрического круга (рис. 2), а здесь \(\
\cos \alpha>0
\) . Таким образом, окончательно получим
\(\
\cos \alpha=\frac{4}{5}
\)
ПРИМЕР 2
Найти значение \(\
\sin \alpha
\) если \(\
\cos \alpha=-\frac{1}{3}
\) и \(\
\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi
\)
По следствию 1 из основного тригонометрического тождества, для нахождения синуса справедлива формула
\(\
\sin \alpha=\pm \sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}
\)
Подставляем в неё заданное значение \(\
\cos \alpha=-\frac{1}{3}
\) , получим
\(\
\sin \alpha=\pm \sqrt{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\pm \sqrt{1-\frac{1}{9}}=\pm \sqrt{\frac{9-1}{9}}=\pm \sqrt{\frac{8}{9}}=\pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}
\)
Рис. 3
Далее для определения знака искомого значения синуса, воспользуемся дополнительным условием о расположении угла: \(\
\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi
\) . Угол \(\
\alpha
\) лежит во второй четверти тригонометрического круга (рис. 3), поэтому углу соответствуют только положительные значения синуса, поэтому окончательно:
\(\
\sin \alpha=\frac{2 \sqrt{2}}{3}
\)
ПРИМЕР 3
Вычислить \(\
\sin \alpha
\) и \(\
\cos \alpha
\) , если \(\
\operatorname{tg} \alpha=3
\) и \(\
\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}
\)
По следствию 2, тангенс и косинус одного и того же угла связаны соотношением:
\(\
\operatorname{tg}^{2} \alpha+1=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}
\)
Выразим из него косинус:
\(\
\cos ^{2} \alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}^{2} \alpha+1}
\)
Подставляя в это равенство заданное значение \(\
\operatorname{tg} \alpha=3
\) , получим
\(\
\cos ^{2} \alpha=\frac{1}{3^{2}+1}=\frac{1}{10} \Rightarrow \cos \alpha=\pm \frac{1}{\sqrt{10}}
\)
Рис. 4
По первому следствию из основного тригонометрического тождества
\(\
\sin \alpha=\pm \sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}
\)
а тогда
\(\
\sin \alpha=\pm \sqrt{1-\frac{1}{10}}=\pm \sqrt{\frac{10-1}{10}}=\pm \sqrt{\frac{9}{10}}=\pm \frac{3}{\sqrt{10}}
\)
Для определения знаков синуса и косинуса, воспользуемся дополнительными условиями. Так как \(\
\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}
\) , следовательно, угол \(\
\alpha
\) лежит в третьей четверти (рис. 4), там косинус и синус отрицательные. Тогда окончательно, получим
\(\
\cos \alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}
\); \(\
\sin \alpha=-\frac{3}{\sqrt{10}}
\)
ПРИМЕР 4
Вычислить \(\
\sin \alpha
\), \(\
\cos \alpha
\) и \(\
\operatorname{tg} \alpha
\) , если \(\
\operatorname{tg} \alpha=-\frac{5}{12}
\) и \(\
-\frac{\pi}{2}<\alpha<0
\)
Сразу можно найти тангенс:
\(\
\operatorname{tg} \alpha=\frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \Rightarrow \operatorname{tg} \alpha=\frac{1}{-\frac{5}{12}}=-\frac{12}{5}
\)
По следствию 2 из основного тригонометрического тождества, котангенс и синус связаны соотношением:
\(\
1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}
\)
Выразим из него синус:
\(\
\sin ^{2} \alpha=\frac{1}{\operatorname{ctg}^{2} \alpha+1}
\)
Подставляя в это равенство, заданное значение \(\
\operatorname{ctg} \alpha=-\frac{5}{12}
\) , получим
\(\
\sin ^{2} \alpha=\frac{1}{\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}+1}=\frac{1}{\frac{25}{144}+1}=\frac{144}{25+144}=\frac{144}{169}
\), \(\
\sin \alpha=\pm \sqrt{\frac{144}{169}}=\pm \frac{12}{13}
\)
По первому следствию из основного тригонометрического тождества,
\(\
\cos \alpha=\pm \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}
\)
найдем косинус
\(\
\cos \alpha=\pm \sqrt{1-\frac{144}{169}}=\pm \sqrt{\frac{169-144}{169}}=\pm \sqrt{\frac{25}{169}}=\pm \frac{5}{13}
\)
Рис. 5
Для определения знаков синуса и косинуса, воспользуемся дополнительными условиями. Угол \(\
\alpha
\) лежит в пределах \(\
-\frac{\pi}{2}<\alpha<0
\) , следовательно, он принадлежит четвертой четверти (рис. 5), там косинус положительный, а синус отрицательный. Окончательно, получим
\(\
\sin \alpha=-\frac{12}{13}
\); \(\
\cos \alpha=\frac{5}{13}
\)
Основное тригонометрическое тождество, так же используется при тождественных преобразованиях.
ПРИМЕР 5
Вычислить \(\
\sin ^{4} \alpha+\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha
\)
Сгруппируем первые два слагаемые заданного равенства и вынесем за скобки общий множитель \(\
\sin ^{2} \alpha
\) :
\(\
\sin ^{4} \alpha+\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=\sin ^{2} \alpha \cdot\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)-\sin ^{2} \alpha
\)
полученное выражение в скобках есть основное тригонометрическое тождество и равно 1:
\(\
\sin ^{4} \alpha+\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=\sin ^{2} \alpha \cdot 1-\sin ^{2} \alpha=0
\)