Первообразная и неопределенный интеграл
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Примитив для данной функции \(\
y=f(x)
\) на данном интервале \(\
(a ; b)
\) называется такой функцией \(\
F(x)
\) , что мы имеем равенство
\(\
F^{\prime}(x)=f(x), x \in(a ; b)
\)
Операция нахождения первообразной \(\
F(x)
\) функции \(\
y=f(x)
\) называется интегрированием.
Теорема 1
Любая непрерывная функция на отрезке \(\
[a ; b]
\) имеет примитивную функцию на этом отрезке.
Лемма
Если на некотором интервале функция \(\
y=f(x)
\) равна нулю: \(\
f(x)=0
\) , то первообразная этой функции на рассматриваемом интервале является постоянной:
\(\
F(x)=C=\mathrm{const}
\)
Постоянная интегрирования
Теорема 2
Если на некотором интервале функция \(\
F(x)_{\mathfrak{A}}
\) является примитивной функцией \(\
y=f(x)
\) , то на этом интервале примитивной для этой функции будет функция \(\
F(x)+C
\) , где \(\
\mathrm{C}
\) - произвольная постоянная.
Доказательства. Поскольку \(\
F(x)
\) является первообразной функции \(\
y=f(x)
\) , по определению имеем, что
\(\
F^{\prime}(x)=f(x)
\)
Рассмотрим функцию \(\
\Phi(x)=F(x)+C
\) и покажем, что она также примитивна для функции \(\
y=f(x)
\) . Найти производную:
\(\
\Phi^{\prime}(x)=(F(x)+C)^{\prime}=(F(x))^{\prime}+(C)^{\prime}=F^{\prime}(x)+0=F^{\prime}(x)=f(x)
\)
То есть, \(\
\Phi^{\prime}(x)=f(x)
\) , что означает, что функция \(\
\Phi(x)=F(x)+C
\) также примитивна для функции \(\
y=f(x)
\) .
Что и требовалось доказать
Теорема 3
Любые две первообразные для одной и той же функции отличаются константой.
Правила поиска примитивов
Если \(\
F(x)
\) первообразно для функции \(\
y=f(x)
\) ,первообразной функции \(\
y=g(x)
\) , то \(\
F(x)+G(x)
\) является первообразной функции \(\
f(x)+g(x)
\)
Если \(\
F(x)
\) первообразно для функции \(\
y=f(x)
\) , а \(\
k
\) - некоторое число, то \(\
k F(x)
\) первообразно для функции \(\
k f(x)
\)
Если \(\
F(x)
\) - примитивная функция \(\
y=f(x)
\) , а \(\
k \neq 0
\) и \(\
\mathrm{b}
\) - некоторые числа, то функция \(\
\frac{1}{k} F(k x+b)
\) примитивна для функции \(\
f(k x+b)
\)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Множество всех первообразных \(\
F(x)+C
\) некоторой функции \(\
y=f(x)
\) называется неопределенным интегралом и обозначается через
\(\
\int f(x) d x=F(x)+C
\)
Здесь \(\
\int
\) - знак интеграла, \(\
f(x) d x
\) - подынтегральное выражение, \(\
f(x)
\) - подынтегральное выражение, \(\
\mathbf{X}
\) - переменная интегрирования.