Показательная форма записи комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Экспоненциальной формой комплексного числа является выражение \(\
z=r e^{i \varphi}
\) , где \(\
r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\) - модуль комплексного числа, \(\
e^{i \varphi}
\) является расширением показателя степени до случая, когда показатель является комплексным числом.
Пусть комплексное число \(\
z
\) записано в тригонометрической форме \(\
z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)
\) , где \(\
r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\) - модуль комплексного числа. Используя формулу Эйлера, получим
\(\
z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)=r e^{i \varphi}
\)
Формула Эйлера
Формула Эйлера связывает тригонометрические и экспоненциальные функции:
\(\
e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \sin \varphi
\)
где e - показатель, \(\
\mathbf{i}
\) - мнимая единица.
Для комплексного числа \(\
z=x+i y=
\) :
\(\
e^{z}=e^{x+i y}=e^{x} \cdot e^{i y}
\)
В случае, когда \(\
z
\) - действительное число \(\
(\operatorname{Im} z=0)
\)
\(\
e^{z}=e^{x+0 i}=e^{x} \cdot e^{0}=e^{x}
\)
Если \(\
z
\) - чисто мнимое число \(\
(\operatorname{Re} z=0)
\) , то справа
\(\
e^{z}=e^{0+i y}=e^{0} \cdot e^{i y}=e^{i y}
\)
Используя формулу Эйлера, получаем:
\(\
e^{z}=e^{x} \cdot e^{i y}=e^{x} \cdot(\cos y+i \sin y)
\)
Узнайте больше о формуле Эйлера в отдельной статье: формула Эйлера для комплексных чисел.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР
Записать комплексное число \(\
z=2 i
\) в экспоненциальной форме.
Реальная часть - это число \(\
x=\operatorname{Re}
\), \(\
z=0
\), мнимая часть \(\
y=\operatorname{Im}
\), \(\
z=2
\) . Найдите модуль и аргумент комплексного числа:
\(\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=2
\)
\(\
\varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{2}{0}=\operatorname{arctg}(\infty)=\frac{\pi}{2}
\)
Следовательно, экспоненциальная форма:
\(\
z=r e^{i \varphi}=2 e^{\frac{\pi}{2} i}
\)
\(\
z=2 e^{\frac{\pi}{2} i}
\)
ПРИМЕР
Запишите комплексное число \(\
z=4-3 i
\) в экспоненциальном виде.
Используйте формулы, описанные выше. Модуль комплексного числа равен
\(\
r=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5
\)
Аргументом является
\(\
\varphi=\operatorname{arctg} \frac{-3}{4}=-\operatorname{arctg} \frac{3}{4}
\)
Следовательно, экспоненциальная форма:
\(\
z=r e^{i \varphi}=5 e^{-\operatorname{arctg} \frac{3}{4} i}
\)
\(\
z=5 e^{-\operatorname{arctg} \frac{3}{4} i}
\)
ПРИМЕР
Для комплексного числа в экспоненциальной форме \(\
z=2 e^{\frac{\pi}{3} i}
\) найти его алгебраическую форму.
Используя формулу Эйлера, получаем:
\(\
z=2 e^{\frac{\pi}{3} i}=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+\sqrt{3} i
\)
\(\
z=1+\sqrt{3} i
\)
Действия комплексных чисел в экспоненциальной форме
умножение
Для произведения комплексных чисел в экспоненциальной форме справедливо равенство:
\(\
z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot e^{i \varphi_{1}} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi_{2}}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi_{1}+i \varphi_{2}}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}
\)
ПРИМЕР
Найдите произведение комплексных чисел \(\
z_{1}=\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2} i}
\) и \(\
z_{2}=\sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4} i}
\)
Используйте формулу, написанную выше. Произведением комплексных чисел является:
\(\
z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot e^{i\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=2 e^{-\frac{\pi}{4} i}
\)
\(\
z_{1} \cdot z_{2}=2 e^{-\frac{\pi}{4} i}
\)
разделение
Фактор комплексных чисел в экспоненциальной форме выполняется по формуле:
\(\
z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1} \cdot e^{i \varphi_{1}}}{r_{2} \cdot e^{i \varphi_{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i \varphi_{1}-i \varphi_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}
\)
Подробнее о разделении комплексных чисел читайте в отдельной статье: Разделение комплексных чисел.
Возведение
Для поднятия до степени комплексных чисел формула истинна в экспоненциальной форме:
\(\
z^{k}=\left(r e^{i \varphi}\right)^{k}=r^{k} e^{i k \varphi}, k \in Z
\)