Узнать цену работы
Статьи по теме

Показательная форма записи комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Экспоненциальной формой комплексного числа является выражение \(\ z=r e^{i \varphi} \) , где \(\ r=|z|=\sqrt{x^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+y^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
} \) - модуль комплексного числа, \(\ e^{i \varphi} \) является расширением показателя степени до случая, когда показатель является комплексным числом.

Пусть комплексное число \(\ z \) записано в тригонометрической форме \(\ z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \) , где \(\ r=|z|=\sqrt{x^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+y^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
} \) - модуль комплексного числа. Используя формулу Эйлера, получим

\(\ z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)=r e^{i \varphi} \)

Формула Эйлера

Формула Эйлера связывает тригонометрические и экспоненциальные функции:

\(\ e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \sin \varphi \)

где e - показатель, \(\ \mathbf{i} \) - мнимая единица.

Для комплексного числа \(\ z=x+i y= \) :

\(\ e^{z}=e^{x+i y}=e^{x} \cdot e^{i y} \)

В случае, когда \(\ z \) - действительное число \(\ (\operatorname{Im} z=0) \)

\(\ e^{z}=e^{x+0 i}=e^{x} \cdot e^

Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
=e^{x} \)

Если \(\ z \) - чисто мнимое число \(\ (\operatorname{Re} z=0) \) , то справа

\(\ e^{z}=e^{0+i y}=e^

Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\cdot e^{i y}=e^{i y} \)

Используя формулу Эйлера, получаем:

\(\ e^{z}=e^{x} \cdot e^{i y}=e^{x} \cdot(\cos y+i \sin y) \)

Узнайте больше о формуле Эйлера в отдельной статье: формула Эйлера для комплексных чисел.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР

  • Задача

    Записать комплексное число \(\ z=2 i \) в экспоненциальной форме.

  • Решение.

    Реальная часть - это число \(\ x=\operatorname{Re} \), \(\ z=0 \), мнимая часть \(\ y=\operatorname{Im} \), \(\ z=2 \) . Найдите модуль и аргумент комплексного числа:

    \(\ r=\sqrt{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\sqrt{0^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=2 \)

    \(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\operatorname{arctg}(\infty)=\frac{\pi}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Следовательно, экспоненциальная форма:

    \(\ z=r e^{i \varphi}=2 e^{\frac{\pi}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    i} \)

  • Ответ

    \(\ z=2 e^{\frac{\pi}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    i} \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Запишите комплексное число \(\ z=4-3 i \) в экспоненциальном виде.

  • Решение

    Используйте формулы, описанные выше. Модуль комплексного числа равен

    \(\ r=\sqrt{4^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +(-3)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \)

    Аргументом является

    \(\ \varphi=\operatorname{arctg} \frac{-3}{4}=-\operatorname{arctg} \frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} \)

    Следовательно, экспоненциальная форма:

    \(\ z=r e^{i \varphi}=5 e^{-\operatorname{arctg} \frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} i} \)

  • Ответ

    \(\ z=5 e^{-\operatorname{arctg} \frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} i} \)

    ПРИМЕР

  • Задача.

    Для комплексного числа в экспоненциальной форме \(\ z=2 e^{\frac{\pi}

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    i} \) найти его алгебраическую форму.

  • Решение.

    Используя формулу Эйлера, получаем:

    \(\ z=2 e^{\frac{\pi}

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    i}=2\left(\cos \frac{\pi}
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +i \sin \frac{\pi}
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right)=2\left(\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +i \frac{\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)=1+\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    i \)

  • Ответ

    \(\ z=1+\sqrt

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    i \)

    Действия комплексных чисел в экспоненциальной форме умножение

    Для произведения комплексных чисел в экспоненциальной форме справедливо равенство:

    \(\ z_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =r_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot e^{i \varphi_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } \cdot r_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot e^{i \varphi_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=r_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot r_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot e^{i \varphi_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +i \varphi_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=r_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot r_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot e^{i\left(\varphi_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +\varphi_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)} \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найдите произведение комплексных чисел \(\ z_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =\sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{-\frac{\pi}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    i} \) и \(\ z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{\frac{\pi}{4} i} \)

  • Решение

    Используйте формулу, написанную выше. Произведением комплексных чисел является:

    \(\ z_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =r_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot r_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot e^{i\left(\varphi_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +\varphi_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)}=\sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot \sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot e^{i\left(-\frac{\pi}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +\frac{\pi}{4}\right)}=2 e^{-\frac{\pi}{4} i} \)

  • Ответ

    \(\ z_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =2 e^{-\frac{\pi}{4} i} \) разделение

    Фактор комплексных чисел в экспоненциальной форме выполняется по формуле:

    \(\ z_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \div z_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{r_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot e^{i \varphi_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }}{r_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot e^{i \varphi_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }}=\frac{r_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{r_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \cdot e^{i \varphi_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -i \varphi_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\frac{r_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{r_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \cdot e^{i\left(\varphi_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -\varphi_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)} \)

    Подробнее о разделении комплексных чисел читайте в отдельной статье: Разделение комплексных чисел.

    Возведение

    Для поднятия до степени комплексных чисел формула истинна в экспоненциальной форме:

    \(\ z^{k}=\left(r e^{i \varphi}\right)^{k}=r^{k} e^{i k \varphi}, k \in Z \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы