Узнать цену работы
Статьи по теме

Показательная форма записи комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Экспоненциальной формой комплексного числа является выражение \(\ z=r e^{i \varphi} \) , где \(\ r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) - модуль комплексного числа, \(\ e^{i \varphi} \) является расширением показателя степени до случая, когда показатель является комплексным числом.

Пусть комплексное число \(\ z \) записано в тригонометрической форме \(\ z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \) , где \(\ r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) - модуль комплексного числа. Используя формулу Эйлера, получим

\(\ z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)=r e^{i \varphi} \)

Формула Эйлера

Формула Эйлера связывает тригонометрические и экспоненциальные функции:

\(\ e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \sin \varphi \)

где e - показатель, \(\ \mathbf{i} \) - мнимая единица.

Для комплексного числа \(\ z=x+i y= \) :

\(\ e^{z}=e^{x+i y}=e^{x} \cdot e^{i y} \)

В случае, когда \(\ z \) - действительное число \(\ (\operatorname{Im} z=0) \)

\(\ e^{z}=e^{x+0 i}=e^{x} \cdot e^{0}=e^{x} \)

Если \(\ z \) - чисто мнимое число \(\ (\operatorname{Re} z=0) \) , то справа

\(\ e^{z}=e^{0+i y}=e^{0} \cdot e^{i y}=e^{i y} \)

Используя формулу Эйлера, получаем:

\(\ e^{z}=e^{x} \cdot e^{i y}=e^{x} \cdot(\cos y+i \sin y) \)

Узнайте больше о формуле Эйлера в отдельной статье: формула Эйлера для комплексных чисел.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР

  • Задача

    Записать комплексное число \(\ z=2 i \) в экспоненциальной форме.

  • Решение.

    Реальная часть - это число \(\ x=\operatorname{Re} \), \(\ z=0 \), мнимая часть \(\ y=\operatorname{Im} \), \(\ z=2 \) . Найдите модуль и аргумент комплексного числа:

    \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=2 \)

    \(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{2}{0}=\operatorname{arctg}(\infty)=\frac{\pi}{2} \)

    Следовательно, экспоненциальная форма:

    \(\ z=r e^{i \varphi}=2 e^{\frac{\pi}{2} i} \)

  • Ответ

    \(\ z=2 e^{\frac{\pi}{2} i} \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Запишите комплексное число \(\ z=4-3 i \) в экспоненциальном виде.

  • Решение

    Используйте формулы, описанные выше. Модуль комплексного числа равен

    \(\ r=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \)

    Аргументом является

    \(\ \varphi=\operatorname{arctg} \frac{-3}{4}=-\operatorname{arctg} \frac{3}{4} \)

    Следовательно, экспоненциальная форма:

    \(\ z=r e^{i \varphi}=5 e^{-\operatorname{arctg} \frac{3}{4} i} \)

  • Ответ

    \(\ z=5 e^{-\operatorname{arctg} \frac{3}{4} i} \)

    ПРИМЕР

  • Задача.

    Для комплексного числа в экспоненциальной форме \(\ z=2 e^{\frac{\pi}{3} i} \) найти его алгебраическую форму.

  • Решение.

    Используя формулу Эйлера, получаем:

    \(\ z=2 e^{\frac{\pi}{3} i}=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+\sqrt{3} i \)

  • Ответ

    \(\ z=1+\sqrt{3} i \)

    Действия комплексных чисел в экспоненциальной форме умножение

    Для произведения комплексных чисел в экспоненциальной форме справедливо равенство:

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot e^{i \varphi_{1}} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi_{2}}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi_{1}+i \varphi_{2}}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)} \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найдите произведение комплексных чисел \(\ z_{1}=\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2} i} \) и \(\ z_{2}=\sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4} i} \)

  • Решение

    Используйте формулу, написанную выше. Произведением комплексных чисел является:

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot e^{i\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=2 e^{-\frac{\pi}{4} i} \)

  • Ответ

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=2 e^{-\frac{\pi}{4} i} \) разделение

    Фактор комплексных чисел в экспоненциальной форме выполняется по формуле:

    \(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1} \cdot e^{i \varphi_{1}}}{r_{2} \cdot e^{i \varphi_{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i \varphi_{1}-i \varphi_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)} \)

    Подробнее о разделении комплексных чисел читайте в отдельной статье: Разделение комплексных чисел.

    Возведение

    Для поднятия до степени комплексных чисел формула истинна в экспоненциальной форме:

    \(\ z^{k}=\left(r e^{i \varphi}\right)^{k}=r^{k} e^{i k \varphi}, k \in Z \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ