Узнать цену работы
Статьи по теме

Правило Лопиталя для вычисления пределов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Теорема Лопиталя:(правило) - это метод нахождения пределов функций, позволяющий выявить неопределенности формы \(\ \left[\frac{0}{0}\right] \) и \(\ \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \)

Метод раскрытия таких неопределенностей был опубликован в учебнике «Анализ петиций» в 1696 году французским математиком, автором первого учебника по математическому анализу, маркиза Гийома Франсуа Лопиталя (1661-1704). Хотя сам метод был передан Лопиталя в письме его пионерского швейцарского математика, механика, доктора и классициста-филолога Иоганна Бернулли (1667-1748).

ПРАВИЛО Лопиталя

Если

\(\ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 \)

2) функции \(\ f(x) \) и \(\ g(x) \) дифференцируемы в окрестности точки \(\ x=a \);

3) вблизи этой точки \(\ g^{\prime}(x) \neq 0 \)

4) существует \(\ \lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \)

то существует \(\ \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \) и \(\ \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \)

  • Замечание 1.

    Рассматриваемые пределы также могут быть односторонними.

  • Замечание 2.

    Правило Лопиталя также может быть применено к неопределенности типа \(\ [0 \cdot \infty],[\infty-\infty],\left[0^{0}\right],\left[1^{\infty}\right],\left[\infty^{0}\right] \) . Первые две неопределенности могут быть сведены к типам, указанным в правиле Лопиталя, с использованием алгебраических преобразований. И неопределенности последних трех сводятся к неопределенности типа \(\ [0 \cdot \infty] \) с помощью основного логарифмического тождества \(\ f(x)^{g(x)}=e^{\ln f(x)^{g(x)}} \)

    Примеры решения проблем

    ПРИМЕР 1

  • Задача

    Использование правила Лопиталя для вычисления предела

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x} \)

  • Решение.

    Начнем с выяснения типа неопределенности (если таковая имеется), для этого вместо х мы подставим нуль в выражение под знаком предела:

    \(\ \frac{a^{0}-1}{0}=\frac{0}{0} \)

    Таким образом, необходимо выявить неопределенность формы \(\ \left[\frac{0}{0}\right] \) . Для этого мы применяем правило

    Лопиталя: \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(a^{x}-1\right)^{\prime}}{(x)^{\prime}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x} \ln a-0}{1}=\lim _{x \rightarrow 0} a^{x} \ln a=a^{0} \cdot \ln a=\ln a \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\ln a \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найдите значение предела

    \(\ \lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{4}{x^{2}-4}-\frac{1}{x-2}\right) \)

  • Решение.

    Этот предел содержит неопределенность типа.

    \(\ \left[\frac{4}{2^{2}-4}-\frac{1}{2-2}\right]=\left[\frac{4}{0}-\frac{1}{0}\right]=[\infty-\infty] \)

    Используя алгебраические преобразования, мы приводим его к одной из неопределенностей \(\ \left[\frac{0}{0}\right] \) или \(\ \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \) . Мы приводим выражение, предел которого необходимо найти, к общему знаменателю:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{4}{x^{2}-4}-\frac{1}{x-2}\right)[\infty-\infty]=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{4-(x+2)}{x^{2}-4}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2-x}{x^{2}-4} \)

    Результирующий предел уже имеет неопределенность

    \(\ \left[\frac{2-2}{2^{2}-4}\right]=\left[\frac{0}{0}\right] \)

    поэтому к нему может применяться правило Лопиталя:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{4}{x^{2}-4}-\frac{1}{x-2}\right)[\infty-\infty]=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2-x}{x^{2}-4}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(2-x)^{\prime}}{\left(x^{2}-4\right)^{\prime}}= \)

    \(\ =\lim _{x \rightarrow 2} \frac{0-1}{2 x-0}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{-1}{2 x}=-\frac{1}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{4} \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{4}{x^{2}-4}-\frac{1}{x-2}\right)=-\frac{1}{4} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ