Правило Лопиталя для вычисления пределов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Теорема Лопиталя:(правило) - это метод нахождения пределов функций, позволяющий выявить неопределенности формы \(\
\left[\frac{0}{0}\right]
\) и \(\
\left[\frac{\infty}{\infty}\right]
\)
Метод раскрытия таких неопределенностей был опубликован в учебнике «Анализ петиций» в 1696 году французским математиком, автором первого учебника по математическому анализу, маркиза Гийома Франсуа Лопиталя (1661-1704). Хотя сам метод был передан Лопиталя в письме его пионерского швейцарского математика, механика, доктора и классициста-филолога Иоганна Бернулли (1667-1748).
ПРАВИЛО Лопиталя
Если
\(\
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} g(x)=0
\)
2) функции \(\
f(x)
\) и \(\
g(x)
\) дифференцируемы в окрестности точки \(\
x=a
\);
3) вблизи этой точки \(\
g^{\prime}(x) \neq 0
\)
4) существует \(\
\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
\)
то существует \(\
\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}
\) и \(\
\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
\)
Рассматриваемые пределы также могут быть односторонними.
Правило Лопиталя также может быть применено к неопределенности типа \(\
[0 \cdot \infty],[\infty-\infty],\left[0^{0}\right],\left[1^{\infty}\right],\left[\infty^{0}\right]
\) . Первые две неопределенности могут быть сведены к типам, указанным в правиле Лопиталя, с использованием алгебраических преобразований. И неопределенности последних трех сводятся к неопределенности типа \(\
[0 \cdot \infty]
\) с помощью основного логарифмического тождества \(\
f(x)^{g(x)}=e^{\ln f(x)^{g(x)}}
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Использование правила Лопиталя для вычисления предела
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}
\)
Начнем с выяснения типа неопределенности (если таковая имеется), для этого вместо х мы подставим нуль в выражение под знаком предела:
\(\
\frac{a^{0}-1}{0}=\frac{0}{0}
\)
Таким образом, необходимо выявить неопределенность формы \(\
\left[\frac{0}{0}\right]
\) . Для этого мы применяем правило Лопиталя:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(a^{x}-1\right)^{\prime}}{(x)^{\prime}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x} \ln a-0}{1}=\lim _{x \rightarrow 0} a^{x} \ln a=a^{0} \cdot \ln a=\ln a
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\ln a
\)
ПРИМЕР 2
Найдите значение предела
\(\
\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{4}{x^{2}-4}-\frac{1}{x-2}\right)
\)
Этот предел содержит неопределенность типа.
\(\
\left[\frac{4}{2^{2}-4}-\frac{1}{2-2}\right]=\left[\frac{4}{0}-\frac{1}{0}\right]=[\infty-\infty]
\)
Используя алгебраические преобразования, мы приводим его к одной из неопределенностей \(\
\left[\frac{0}{0}\right]
\) или \(\
\left[\frac{\infty}{\infty}\right]
\) . Мы приводим выражение, предел которого необходимо найти, к общему знаменателю:
\(\
\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{4}{x^{2}-4}-\frac{1}{x-2}\right)[\infty-\infty]=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{4-(x+2)}{x^{2}-4}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2-x}{x^{2}-4}
\)
Результирующий предел уже имеет неопределенность
\(\
\left[\frac{2-2}{2^{2}-4}\right]=\left[\frac{0}{0}\right]
\)
поэтому к нему может применяться правило Лопиталя:
\(\
\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{4}{x^{2}-4}-\frac{1}{x-2}\right)[\infty-\infty]=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2-x}{x^{2}-4}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(2-x)^{\prime}}{\left(x^{2}-4\right)^{\prime}}=
\)
\(\
=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{0-1}{2 x-0}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{-1}{2 x}=-\frac{1}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{4}
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{4}{x^{2}-4}-\frac{1}{x-2}\right)=-\frac{1}{4}
\)