Предел функции на бесконечности
Определение предела функции на бесконечности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число a называется пределом функции \(\
y=f(x)
\) с \(\
x \rightarrow \infty
\) , если для любого положительного числа \(\
\varepsilon
\) существует положительное число \(\
\delta
\) , зависящее от \(\
\delta=\delta(\varepsilon)
\) , такое, что для всех значений аргумента из области функция, превышающая абсолютное значение чисел \(\
\delta
\) , значения функции \(\
y=f(x)
\) различаются по величине от указанного числа а меньше \(\
\varepsilon
\) :
\(\
\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=a \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 : \forall x \in D(y) :|x|>\delta|f(x)-a|<\varepsilon\)
Геометрическая интерпретация предельной функции на бесконечности показана на рисунке 1.
Рис. 1
Число \(\
b
\) называется пределом функции \(\
y=f(x)
\) с \(\
x \rightarrow+\infty
\) , если для любого числа \(\
\varepsilon>0
\) существует число \(\
A=A(\varepsilon)>0
\) такое, что для всех значений аргумента, большего, чем это число, значения функции Отличаются по величине от указанного числа \(\
\mathrm{b}
\) меньше \(\
\varepsilon
\):
\(\
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \exists A=A(\varepsilon)>0 : \forall x>A|f(x)-a|<\varepsilon
\)
Геометрический смысл предела функции на бесконечности
Геометрическое значение предела функции в \(\
x \rightarrow+\infty
\). Преобразуем неравенство \(\
|f(x)-a|<\varepsilon
\) в определение предела функции в плюс бесконечности следующим образом:
\(\
|f(x)-a| < \varepsilon \Leftrightarrow-\varepsilon < f(x)-a < \varepsilon
\)
или же
\(\
a-\varepsilon < f(x) < a+\varepsilon
\)
Полученное неравенство означает, что график рассматриваемой функции \(\
y=f(x)
\) для всех \(\
x>A
\) будет лежать в полосе, ограниченной линией \(\
y=a-\varepsilon
\), \(\
y=a+\varepsilon
\) (рис.2).
Рис. 2
Число \(\
b
\) называется пределом функции \(\
y=f(x)
\) с \(\
x \rightarrow-\infty
\) , если для любого числа \(\
\varepsilon>0
\) существует число \(\
A=A(\varepsilon)>0
\) такое, что для всех значений аргумента, меньших этого числа, значения функции различаются по величине от указанного числа \(\
\mathrm{b}
\) меньше, чем \(\
\varepsilon
\) :
\(\
\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=b \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists A=A(\varepsilon)>0 : \forall x < A|f(x)-a| < \varepsilon
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Используя определение предела функции, докажем равенство \(\
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0
\)
Таким образом, необходимо показать, что для любого числа \(\
\varepsilon>0
\) существует число \(\
\delta=\delta(\varepsilon)>0
\) такое, что для всех значений \(\
x \in D(y)
\) из того, что \(\
|x|>\delta
\) следует выполнение неравенства \(\
|f(x)-0|=\left|\frac{1}{x}-0\right|=\left|\frac{1}{x}\right|<\varepsilon
\) . Нам нужно найти указанное число \(\
\delta
\) . Преобразуем неравенство \(\
|f(x)-0|<\varepsilon
\) :
\(\
\left|\frac{1}{x}\right|<\varepsilon \Rightarrow|x|>\frac{1}{\varepsilon}
\)
то в качестве \(\
\delta
\) возьмем \(\
\delta=\frac{1}{\varepsilon}
\)
Так,
\(\
\forall \varepsilon>0 \exists \delta=\frac{1}{\varepsilon}>0 : \forall x \in D(y) :|x|>\delta\left|\frac{1}{x}\right|<\varepsilon
\)
ПРИМЕР 2
Доказать по определению, что \(\
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{2}+1\right)=+\infty
\)
Необходимо показать, что для любого числа \(\
\varepsilon>0
\) существует число \(\
\delta=\delta(\varepsilon)>0
\) такое, что для всех значений \(\
x \in D(y)
\) следует, что из \(\
|x|>\delta
\) следует неравенство \(\
|f(x)|=\left|x^{2}+1\right|>\varepsilon
\). Нам нужно найти положительное число \(\
\delta
\) .
Рассмотрим правильное неравенство \(\
(|x|-1)^{2} \geq 0
\) , затем применив к левой части формулы для сокращенной разности квадратов умножения, получим
\(\
|x|^{2}-2|x|+1 \geq 0 \Rightarrow x^{2}+1 \geq 2|x|>|x| \Rightarrow x^{2}+1>|x| \Rightarrow\left|x^{2}+1\right| \geq x^{2}+1>|x|
\)
то есть
\(\
|f(x)|=\left|x^{2}+1\right|>|x|>\varepsilon \Rightarrow \delta=\varepsilon
\)
Так,
\(\
\forall \varepsilon>0 \exists \delta=\varepsilon>0 : \forall x \in D(y) :|x|>\delta \Rightarrow\left|x^{2}+1\right|>\varepsilon
\)