Узнать цену работы
Статьи по теме

Предел функции на бесконечности

Определение предела функции на бесконечности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число a называется пределом функции \(\ y=f(x) \) с \(\ x \rightarrow \infty \) , если для любого положительного числа \(\ \varepsilon \) существует положительное число \(\ \delta \) , зависящее от \(\ \delta=\delta(\varepsilon) \) , такое, что для всех значений аргумента из области функция, превышающая абсолютное значение чисел \(\ \delta \) , значения функции \(\ y=f(x) \) различаются по величине от указанного числа а меньше \(\ \varepsilon \) :

\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=a \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 : \forall x \in D(y) :|x|>\delta|f(x)-a|<\varepsilon\)

Геометрическая интерпретация предельной функции на бесконечности показана на рисунке 1.

Рис. 1

Число \(\ b \) называется пределом функции \(\ y=f(x) \) с \(\ x \rightarrow+\infty \) , если для любого числа \(\ \varepsilon>0 \) существует число \(\ A=A(\varepsilon)>0 \) такое, что для всех значений аргумента, большего, чем это число, значения функции Отличаются по величине от указанного числа \(\ \mathrm{b} \) меньше \(\ \varepsilon \):

\(\ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \exists A=A(\varepsilon)>0 : \forall x>A|f(x)-a|<\varepsilon \)

Геометрический смысл предела функции на бесконечности

Геометрическое значение предела функции в \(\ x \rightarrow+\infty \). Преобразуем неравенство \(\ |f(x)-a|<\varepsilon \) в определение предела функции в плюс бесконечности следующим образом:

\(\ |f(x)-a| < \varepsilon \Leftrightarrow-\varepsilon < f(x)-a < \varepsilon \)

или же

\(\ a-\varepsilon < f(x) < a+\varepsilon \)

Полученное неравенство означает, что график рассматриваемой функции \(\ y=f(x) \) для всех \(\ x>A \) будет лежать в полосе, ограниченной линией \(\ y=a-\varepsilon \), \(\ y=a+\varepsilon \) (рис.2).

Рис. 2

Число \(\ b \) называется пределом функции \(\ y=f(x) \) с \(\ x \rightarrow-\infty \) , если для любого числа \(\ \varepsilon>0 \) существует число \(\ A=A(\varepsilon)>0 \) такое, что для всех значений аргумента, меньших этого числа, значения функции различаются по величине от указанного числа \(\ \mathrm{b} \) меньше, чем \(\ \varepsilon \) :

\(\ \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=b \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists A=A(\varepsilon)>0 : \forall x < A|f(x)-a| < \varepsilon \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Используя определение предела функции, докажем равенство \(\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0 \)

  • Доказательство.

    Таким образом, необходимо показать, что для любого числа \(\ \varepsilon>0 \) существует число \(\ \delta=\delta(\varepsilon)>0 \) такое, что для всех значений \(\ x \in D(y) \) из того, что \(\ |x|>\delta \) следует выполнение неравенства \(\ |f(x)-0|=\left|\frac{1}{x}-0\right|=\left|\frac{1}{x}\right|<\varepsilon \) . Нам нужно найти указанное число \(\ \delta \) . Преобразуем неравенство \(\ |f(x)-0|<\varepsilon \) :

    \(\ \left|\frac{1}{x}\right|<\varepsilon \Rightarrow|x|>\frac{1}{\varepsilon} \)

    то в качестве \(\ \delta \) возьмем \(\ \delta=\frac{1}{\varepsilon} \)

    Так,

    \(\ \forall \varepsilon>0 \exists \delta=\frac{1}{\varepsilon}>0 : \forall x \in D(y) :|x|>\delta\left|\frac{1}{x}\right|<\varepsilon \)

  • Что и требовалось доказать

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Доказать по определению, что \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{2}+1\right)=+\infty \)

  • Доказательство.

    Необходимо показать, что для любого числа \(\ \varepsilon>0 \) существует число \(\ \delta=\delta(\varepsilon)>0 \) такое, что для всех значений \(\ x \in D(y) \) следует, что из \(\ |x|>\delta \) следует неравенство \(\ |f(x)|=\left|x^{2}+1\right|>\varepsilon \). Нам нужно найти положительное число \(\ \delta \) .

    Рассмотрим правильное неравенство \(\ (|x|-1)^{2} \geq 0 \) , затем применив к левой части формулы для сокращенной разности квадратов умножения, получим

    \(\ |x|^{2}-2|x|+1 \geq 0 \Rightarrow x^{2}+1 \geq 2|x|>|x| \Rightarrow x^{2}+1>|x| \Rightarrow\left|x^{2}+1\right| \geq x^{2}+1>|x| \)

    то есть

    \(\ |f(x)|=\left|x^{2}+1\right|>|x|>\varepsilon \Rightarrow \delta=\varepsilon \)

    Так,

    \(\ \forall \varepsilon>0 \exists \delta=\varepsilon>0 : \forall x \in D(y) :|x|>\delta \Rightarrow\left|x^{2}+1\right|>\varepsilon \)

  • Что и требовалось доказать
  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ