Узнать цену работы
Статьи по теме

Предел функции в точке

Определение предела функции в точке Гейне

Это определение предела функции на языке последовательностей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число \(\ \mathrm{b} \) называется пределом функции \(\ y=f(x) \) для \(\ x \), стремящимся к (или, что то же самое, в точке a), если для любой последовательности \(\ \left\{x_{n}\right\} \) , сходящейся к \(\ x_{n} \neq a \forall n \) , последовательность соответствующих значений Функции \(\ \left\{f\left(x_{n}\right)\right\} \) сходится к \(\ \mathrm{b} \):

\(\ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=b : \forall\left\{x_{n}\right\} \subset D[f] :\left\{x_{n}\right\}_{n \rightarrow \infty} a \Rightarrow\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n \rightarrow \infty} b \)

ПРИМЕР

  • Задача

    доказать равенство \(\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0 \) , используя определение предела функции по Гейне.

  • Доказательство.

    Согласно определению предела функции Гейне:

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0 : \forall\left\{x_{n}\right\} \subset D[f] : \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0 \)

    Пусть \(\ \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty \) , докажем, что \(\ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0 \) .

    Предел функции

    \(\ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_{n}} \)

    Так как последовательность \(\ \left\{x_{n}\right\} \) бесконечно велика (ее предел бесконечен), то последовательность \(\ \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\} \) бесконечно мала, что означает, что ее предел равен нулю. затем

    \(\ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_{n}}=0 \)

    Что и требовалось доказать

    Определение предела функции в точке Коши

    Это определение предельной функции в языке \(\ \varepsilon-\delta \)

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Число \(\ \mathrm{b} \) называется пределом функции \(\ y=f(x) \) для \(\ x \), стремящимся к a, если для любого положительного числа \(\ \varepsilon \) существует такое положительное число \(\ \delta \) , что для всех \(\ x \neq a \) таких, что неравенство \(\ |x-a|<\delta,|f(x)-a|<\varepsilon \):

    \(\ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=b : \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 : \forall x \in(a-\delta ; a+\delta) \bigcap D[f] : 0<|x-a|<\delta \Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Чтобы доказать равенство \(\ \lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{2}-1\right)=8 \) , используя определение предела функции по Коши.

  • Доказательство.

    Согласно определению предела функции Коши, имеем:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{2}-1\right)=8 : \forall \varepsilon>0 \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 : \forall x \in D[f] : 0<|x-3|<\delta \Rightarrow \)

    \(\ \Rightarrow\left|\left(x^{2}-1\right)-8\right|<\varepsilon \)

    То есть необходимо найти такой положительный \(\ \delta \) , который будет удовлетворять указанным выше условиям.

    Преобразовать последний модуль:

    \(\ \left|\left(x^{2}-1\right)-8\right|=\left|x^{2}-9\right|=|(x-3)(x+3)|=|x-3| \cdot|x+3|=|x-3| \cdot|(x-3)+6| \)

    Далее мы используем тот факт, что модуль суммы не превышает сумму модулей:

    \(\ \left|\left(x^{2}-1\right)-8\right|=|x-3| \cdot|(x-3)+6| \leq|x-3| \cdot(|x-3|+|6|)=(|x-3|)^{2}+6|x-3| \)

    В полученном выражении мы выбираем полный квадрат:

    \(\ \left|\left(x^{2}-1\right)-8\right| \leq(|x-3|)^{2}+6|x-3|=(|x-3|)^{2}+2 \cdot|x-3| \cdot 3+3^{2}-3^{2}= \)

    \(\ =(|x-3|+3)^{2}-9 \)

    И по определению это должно быть меньше \(\ \varepsilon \):

    \(\ \left|\left(x^{2}-1\right)-8\right| \leq(|x-3|+3)^{2}-9<\varepsilon \)

    затем

    \(\ (|x-3|+3)^{2}<\varepsilon+9 \Rightarrow|x-3|+3<\sqrt{\varepsilon+9} \Rightarrow|x-3|<\sqrt{\varepsilon+9}-3 \)

    Итак, мы имеем это, с одной стороны

    \(\ |x-3|<\sqrt{\varepsilon+9}-3 \)

    а с другой (по определению) -

    \(\ |x-3|<\delta \)

    Тогда заключаем, что в качестве \(\ \delta \) можно взять

    \(\ \delta=\sqrt{\varepsilon+9}-3>0 \)

    В этом случае: \(\ \forall \varepsilon>0 \exists \delta(\varepsilon)=\sqrt{\varepsilon+9}-3>0 : \forall x \in D[f] : 0<|x-3|<\delta \Rightarrow\left|\left(x^{2}-1\right)-8\right|<\varepsilon \)

    Что и требовалось доказать

  • Теорема

    Определения предела функции в точке Коши и точки Гейне эквивалентны, т. е. Если число \(\ \mathrm{b} \) является пределом для одного из них, то это верно для второго.

    Замечание 1. Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь двух разных пределов в точке.

    Замечание 2. Понятие предела функции в точке является локальным понятием: существование и значение предела полностью определяются значениями функции в сколь угодно малой окрестности этой точки.

    Замечание 3. Геометрически существование предела функции в точке Коши означает, что для любого числа \(\ \varepsilon>0 \) на координатной плоскости можно указать такой прямоугольник с базой \(\ 2 \delta>0 \) и высотой \(\ 2 \varepsilon \) с пересечением диагоналей \(\ (a ; b) \) , что все точки графа этой функции на отрезке \(\ (a-\delta ; a+\delta) \) , за исключением, быть может, точек \(\ (a ; f(a)) \) лежат в этом прямоугольнике (рис.1).

    Рис.1

    Учитывая, как будут раскрыты модули, а также тот факт, что x стремится к левому или правому значению a, для выражений, написанных выше, можно построить следующую таблицу:

    \(\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & & Гейне& Коши\\ \hline 1 & x \rightarrow a & x_{n} \rightarrow a & 0 < |x-a| < \delta \\ \hline 2 & x \rightarrow a+0& x_{n} \rightarrow a \wedge x_{n} > a& a < x < a+\delta\\ \hline 3 & x \rightarrow a-0& x_{n} \rightarrow a \wedge x_{n} < a& a-\delta < x \delta\\ \hline 5 & x \rightarrow-\infty& x_{n} \rightarrow-\infty& x < -\delta\\ \hline 6 & x \rightarrow+\infty& x_{n} \rightarrow+\infty& x > \delta\\ \hline 7 & f(x) \rightarrow b& f\left(x_{n}\right) \rightarrow b& |f(x)-b| < \varepsilon\\ \hline 8 & f(x) \rightarrow b+0 & f\left(x_{n}\right) \rightarrow b \wedge f\left (x_{n}\right) \geq b & b \leq f(x) < b+\varepsilon\\ \hline 9 & f(x) \rightarrow b-0 & f\left(x_{n}\right) \rightarrow b \wedge f\left(x_{n}\right) \leq b & b-\varepsilon < f(x) \leq b\\ \hline 10 & f(x) \rightarrow \infty & f\left(x_{n}\right) \rightarrow \infty& |f(x)| > \varepsilon\\ \hline 11 & f(x) \rightarrow -\infty & f\left(x_{n}\right) \rightarrow-\infty& f(x) < -\varepsilon\\ \hline 12 & f(x) \rightarrow +\infty& f\left(x_{n}\right) \rightarrow+\inftyв& f(x) > \varepsilon\\ \hline \end{array} \)

    Второй столбец содержит условия, налагаемые на переменную и функцию, а третий и четвертый столбцы соответствуют тому, как эти условия должны интерпретироваться в определениях функций Гейне и Коши соответственно.

    Примеры решения проблем

    ПРИМЕР

  • Задача

    Формулировать с помощью утверждения неравенств \(\ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=b-0 \) . Приведите соответствующий пример.

  • Решение

    Из таблицы мы берем строки 4 (соответствует \(\ x \rightarrow \infty \) и 9 (соответствует \(\ f(x) \rightarrow b-0 \) ). Тогда утверждение для определения предела функции по Гейне с помощью неравенств записывается в виде:

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=b-0 : \forall\left\{x_{n}\right\} \subset D[f] : x_{n}, \rightarrow \infty \Rightarrow\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n \rightarrow \infty} b \wedge f\left(x_{n}\right) \leq b \)

    Аналогично, чтобы определить предел функции по Коши, имеем:

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=b-0 : \forall \varepsilon>0 \exists \delta > 0 : \forall x \in D[f] :|x| > \delta \Rightarrow b-\varepsilon < f(x) \leq b \)

    Приведем соответствующий пример функции, для которой выполняется равенство \(\ \lim _ { x \rightarrow \infty} f(x)=b-0 \) (рис.2)

    Рис. 2

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ