Приложения определенного интеграла

1. Площадь плоской фигуры
2. Длина дуги кривой
3. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений
4. Объем тела вращения
5. Площадь поверхности тела вращения

Свое широкое применение определенный интеграл находит в многочисленных прикладных математических и физических задачах.

Например, применение определенного интеграла в геометрических задачах проявляет себя при решении задач на нахождение площадей плоских фигур и поверхностей, которые имеют сложные формы. Определенный интеграл применим для нахождения объема тела вращения, тела произвольной формы, а также для нахождения длины кривой, как на плоскости, так и в пространстве.

При помощи определенного интеграла вычисляются статистические моменты, массы и центры масс для произвольной кривой и поверхности в задачах физики и теоретической механики. Также он может быть применим при вычислении работы силы по заданному пути и других задач.

Площадь плоской фигуры

Рассмотрим некую плоскую фигуру, которая задана в ПДСК. Фигура имеет ограничение кривой \(\ y=y_{1}(x) \)сверху, а снизу \(\ -y=y_{2}(x) \). Левая и правая её части ограничены прямыми, которые направлены вертикально и описываются уравнениями x=a и x=b. Площадь такой фигуры, которая задана описанным выше способом, может быть вычислена с использованием определенного интеграла по формуле \(\ S=\int_{a}^{b}\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right) \cdot d x \). В случае же ограничения плоской фигуры справа и слева некими кривыми, которые можно описать уравнениями \(\ x=x_{1}(y)_\quad{и}\quad x=x_{2}(y) \)прямыми, проходящими горизонтально сверху и снизу y=c и y=d, её площадь также может быть вычислена при помощи двойного интеграла, но уже с использованием формулы \(\ S=\int_{c}^{d}\left(x_{1}(y)-x_{2}(y)\right) \cdot d y \)

Если для представления плоской фигуры используется криволинейный сектор и она рассмотрена в полярной системе координат, задать её пределы можно уравнением ρ=ρ(ϕ) и двумя ограничивающими лучами, которые будут проходить по следующим углам ϕ=α и ϕ=β. Тогда площадь описанного криволинейного сектора может быть вычислена с помощью нахождения определенного интеграла и использования формулы \(\ S=\frac{1}{2} \cdot \int_{\alpha}^{\beta} \rho^{2}(\phi) \cdot d \phi \)

Длина дуги кривой

При помощи определенного интеграла возможно посчитать значение длины дуги кривой, которая в полярной системе координат на отрезке [α,β] задается уравнением ρ=ρ(ϕ). Эта величина вычисляется по формуле \(\ L=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\rho^{2}(\phi)+\rho^{2}(\phi)} \cdot d \phi \)

При помощи определенного интеграла возможно посчитать значение длины дуги кривой, которая в ПДСК на отрезке \(\ [\mathrm{a}, \mathrm{b}] \)задается уравнением \(\ \mathrm{y}=\mathrm{y}(\mathrm{x}) \). Эта величина вычисляется по формуле \(\ L=\int_{a}^{b} \sqrt{1+y^{2}(x)} \cdot d x \)

При помощи определенного интеграла возможно посчитать значение длины дуги кривой, которая в ПДСК на отрезке \(\ [\mathrm{a}, \mathrm{b}] \) задается уравнениями \(\ x=x(t), y=y(t) \)параметрически. Эта величина вычисляется по формуле \(\ L=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{x^{2}(t)+y^{\prime 2}(t)} \cdot d t \)

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Если нужно решить задачу на нахождение объема пространственной фигуры (тела), точки которого будут находится в координатах, которые соответствуют условию \(\ a \leq x \leq b \), и если известна площадь каждого из сечений S(x), которые получены при проведении плоскостей, которые будут перпендикулярны к Ox, то возможно применить определенный интеграл.

В этом случае формула будет выглядеть так \(\ V=\int_{a}^{b} S(x) \cdot d x \)

Объем тела вращения

Рассмотрим на некотором промежутке \(\ [\mathbf{a}, \mathbf{b}] \) неотрицательную функцию \(\ y=y(x) \), которая также является непрерывной на этом отрезке. Она будет образовывать криволинейную трапецию. В процессе её вращения вокруг одной из осей, например, Ох, можно получить тело, которое называется – тело вращения.

Проведение вычислений такого типа будет частным вариантом формулы рассмотренной выше. Тогда формула, используемая для этого частного случая, будет выглядеть так \(\ V=\int_{a}^{b} S(x) \cdot d x=\pi \cdot \int_{a}^{b} y^{2}(x) \cdot d x \)

Рассмотрим некоторую плоскую фигуру, которая в ПДСК хОу ограничена сверху кривой \(\ y=y_{1}(x) \), в нижней части \(\ y=y_{2}(x) \), а функции \(\ y_{1}(x) \operatorname\quad{и}\quad y_{2}(x) \)являются неотрицательными и непрерывными. Также она имеет вертикальные ограничения по прямым x=a и x=b. В таком случае можно вычислить с использованием определенного интеграла объем образованного при вращении тела при помощи

\(\ V=\int_{a}^{b} S(x) \cdot d x=\pi \cdot \int_{a}^{b} y^{2}(x) \cdot d x \)

Изменяя ориентацию ограничений, можно получить другую формулу для вычисления объема, если рассмотреть ограничения y=c и y=d. Если вращать эту фигуру вокруг оси Оу, то при помощи определенного интеграла вычислим объем \(\ V=\pi \cdot \int_{c}^{d}\left(x_{1}^{2}(y)-x_{2}^{2}(y)\right) \cdot d y \)

Площадь поверхности тела вращения

Пусть на \(\ [\mathrm{a}, \mathrm{b}] \),задается функция \(\ y=y(x) \), которая принимает неотрицательные значения, с непрерывной производной \(\ \mathrm{y}^{\prime}(\mathrm{x}) \). Этой функцией образуется криволинейная трапеция. Если проводить вращение криволинейной трапеции вокруг Ох, то будет образовано тело вращения, дугой криволинейной трапеции образуется поверхность.

Формула \(\ Q=2 \cdot \pi \cdot \int_{a}^{b} y(x) \cdot \sqrt{1+y^{2}(x)} \cdot d x \) будет использоваться для вычисления площади поверхности такого тела.

Если кривую принимающую неотрицательные значения \(\ \mathrm{x}=\phi(\mathrm{y}) \), для которой \(\ \phi(\mathrm{y}) \)определена для значений у \(\ \mathbf{c} \leq \mathbf{y} \leq \mathbf{d} \), вращать вокруг Оу, то площадь её поверхности вычисляется с использование определенного интеграла по формуле \(\ Q=2 \cdot \pi \cdot \int_{c}^{d} \phi(y) \cdot \sqrt{1+\phi^{2}(y)} \cdot d y \)

Физические приложения ОИ

Можно вычислить пройденный путь в t=T для тела, которое имеет переменную скорость, которая определяется по формуле v=v(t), если известно время, которое характеризует момент начала движения t=t0. Это можно выполнить по формуле \(\ S=\int_{t_{0}}^{T} v(t) \cdot d t \) с использованием определенного интеграла.

Вычисление значения работы, которую будет выполнять переменная сила F=F(x), которую приложили к некой материальной точке, которая перемещается вдоль Ох от x=a до x=b, также может быть использован определенный интеграл. При этом применима формула \(\ A=\int_{a}^{b} F(x) \cdot d x \). Важно, что направление, вдоль которого будет действовать сила, будет совпадать с направлением оси. Если задана материальная кривая y=y(x) на отрезке [a,b], то статические моменты можно вычислить по формулам \(\ M_{x}=\rho \cdot \int_{a}^{b} y(x) \cdot \sqrt{1+y^{2}(x)} \cdot d x n M_{y}=\rho \cdot \int_{a}^{b} x \cdot \sqrt{1+y^{2}(x)} \cdot d x \), при учете, что ρ – это постоянная величина. С помощью определенного интеграла вычисляют координаты центра масс для некой материальной кривой. Это выполняют по формуле \(\ x_{C}=\frac{\int_{a}^{b} x \cdot \sqrt{1+y^{2}(x)} \cdot d x}{\int_{a}^{b} \sqrt{1+y^{2}(x)} \cdot d x} \) и \(\ y_{C}=\frac{\int_{a}^{b} y(x) \cdot \sqrt{1+y^{2}(x)} \cdot d x}{\int_{a}^{b} \sqrt{1+y^{2}(x)} d x} \) Если плоская фигура имеет вид криволинейной трапеции с ограничивающей функцией y=y(x) на отрезке [a,b], то координаты центра масс вычислить возможно так: \(\ x_{C}=\frac{\int_{a}^{b} x \cdot y(x) \cdot d x}{\int_{a}^{b} y(x) \cdot d x} \) и \(\ y_{C}=\frac{\frac{1}{2} \cdot \int_{a}^{b} y^{2}(x) \cdot d x}{\int_{a}^{b} y(x) \cdot d x} \)