Произведение синусов
Произведение синусов рассчитывается по формуле
\(\ \sin \alpha \cdot \sin \beta=\frac{1}{2}(\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta)) \)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Конвертировать продукт в сумму: \(\
\sin 5 \alpha \cdot \sin 3 \alpha
\)
Используйте формулу, чтобы найти продукт синусов
\(\
\sin \alpha \cdot \sin \beta=\frac{1}{2}(\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta))
\)
получите
\(\
\sin 5 \alpha \cdot \sin 3 \alpha=\frac{1}{2}(\cos (5 \alpha-3 \alpha)+\cos (5 \alpha+3 \alpha))=\frac{\cos 2 \alpha+\cos 8 \alpha}{2}
\)
\(\
\sin 5 \alpha \cdot \sin 3 \alpha=\frac{\cos 2 \alpha+\cos 8 \alpha}{2}
\)
ПРИМЕР 2
Преобразование суммы в продукт \(\
\sin \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) \cdot \sin \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)
\)
В соответствии с формулой произведения синусов имеем
\(\
\sin \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) \cdot \sin \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\frac{1}{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}+\alpha-\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)\right)+\cos \left(\frac{\pi}{6}+\alpha+\frac{\pi}{6}-\alpha\right)\right)=\frac{1}{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}+\alpha-\frac{\pi}{6}+\alpha\right)+\cos \frac{2 \pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\left(\cos 2 \alpha+\cos \frac{\pi}{3}\right)
\)
\(\
\sin \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) \cdot \sin \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\frac{1}{2}\left(\cos 2 \alpha+\cos \frac{\pi}{3}\right)
\)
