Произведение вектора на число: операции, свойства и примеры
Содержание:
- Откладывание вектора от данной точки
- Произведение вектора на число
- Свойства произведения
- Пример задачи с операцией умножения
Откладывание вектора от данной точки
Раскрытие операции произведения вектора на число невозможно без понимания операции откладывания вектора от данной точки. Рассмотрим определение.
Определение 1
Точка, от которой начинается вектор – это начало вектора, от которого откладывается вектор. На рисунке такая точка отмечена как точка А.
Следующий шаг – рассмотрение теоремы.
Теорема 1
От любой точки начала вектора можно отложить только один вектор.
Как доказать эту теорему?
Что мы имеем: два возможных варианта событий, согласно первому – вектор нулевой, согласно второму – ненулевой.
В первом случае искомый вектор – АВ, во втором случае требуется более детальное рассмотрение.
Если принять точку А за начало вектора, а В за конец и провести через К параллельную вектору a прямую, а затем отложим на этой прямой равные отрезки KL и AB, KM и AB, то один из векторов с буквой К будет иметь одинаковое направление с вектором а.
Что мы имеем в итоге: на рисунке видно, что один из векторов единственно возможен как равный и однонаправленный с вектором а.
Теорема, таким образом, доказана.
Произведение вектора на число
Перейдём непосредственно к операции умножения. Введём обозначения: мы имеем вектор а и число к.
Определение 2
Умножая вектор а на число к, мы получаем вектор b, который должен соответствовать следующим параметрам:
С помощью символов данную операцию можно обозначить так: b →=ka →.
Примечание
Важно учитывать то, что при умножении вектора на число, мы получаем векторную величину, а не число.
Свойства произведения вектора на число
Если умножить вектор на 0, то результатом будет нулевой вектор.
Необходимо доказать данное утверждение.
Что мы имеем: |b →|=|k||a →|=0⋅|a →|=0, а значит b →=ka →=0→
Таким образом, при умножении вектора а на действительное число к, получается вектор ка, коллинеарный вектору а.
Построение доказательства:
Согласно определению, коллинеарность векторов зависит от значения к, независимо от их направления относительно друг друга.
Если взять числа n и m, на которые распространяется сочетательный закон (посмотреть более точно можно на рисунке), то мы получим следующую формулу: (mn)a →=m(na →)
Доказательство закона реализуется посредством этих операций:
Таким образом, при наличии двух действительных чисел и одного вектора, актуализируется и первый распределительный закон, а формула выглядит так: (m+n)a →=ma →+na →
Более подробно доказательство закона:
Согласно второму распределительному закону, при наличии одного числа и двух векторов, мы получаем следующее выражение: m(a →+b→)=ma →+mb →
Доказательство второго закона:
Рисунок 5. Второй распределительный закон
Пример задачи с операцией умножения
Пример 1
Пусть x→=a →+b→, y→=a →−b→. Найти векторы:
Решение.