Узнать цену работы
Статьи по теме

Произведение вектора на число: операции, свойства и примеры

Содержание:

  1. Откладывание вектора от данной точки
  2. Произведение вектора на число
  3. Свойства произведения
  4. Пример задачи с операцией умножения

Откладывание вектора от данной точки

Раскрытие операции произведения вектора на число невозможно без понимания операции откладывания вектора от данной точки. Рассмотрим определение.

Определение 1
Точка, от которой начинается вектор – это начало вектора, от которого откладывается вектор. На рисунке такая точка отмечена как точка А.

Следующий шаг – рассмотрение теоремы.

Теорема 1

От любой точки начала вектора можно отложить только один вектор.

Как доказать эту теорему?

Что мы имеем: два возможных варианта событий, согласно первому – вектор нулевой, согласно второму – ненулевой.

В первом случае искомый вектор – АВ, во втором случае требуется более детальное рассмотрение.

Если принять точку А за начало вектора, а В за конец и провести через К параллельную вектору a прямую, а затем отложим на этой прямой равные отрезки KL и AB, KM и AB, то один из векторов с буквой К будет иметь одинаковое направление с вектором а.

Что мы имеем в итоге: на рисунке видно, что один из векторов единственно возможен как равный и однонаправленный с вектором а.
Теорема, таким образом, доказана.

Произведение вектора на число

Перейдём непосредственно к операции умножения. Введём обозначения: мы имеем вектор а и число к.

Определение 2
Умножая вектор а на число к, мы получаем вектор b, который должен соответствовать следующим параметрам:

  1. Его длина рассчитывается так: |b →|=|k||a →|;
  2. И а, и b имеют одно направление, если к больше нуля или равно, и разное направление, если к меньше нуля.
С помощью символов данную операцию можно обозначить так: b →=ka →.

Примечание
Важно учитывать то, что при умножении вектора на число, мы получаем векторную величину, а не число.

Свойства произведения вектора на число

Если умножить вектор на 0, то результатом будет нулевой вектор.

Необходимо доказать данное утверждение.

Что мы имеем: |b →|=|k||a →|=0⋅|a →|=0, а значит b →=ka →=0→

Таким образом, при умножении вектора а на действительное число к, получается вектор ка, коллинеарный вектору а.

Построение доказательства:

Согласно определению, коллинеарность векторов зависит от значения к, независимо от их направления относительно друг друга.

Если взять числа n и m, на которые распространяется сочетательный закон (посмотреть более точно можно на рисунке), то мы получим следующую формулу: (mn)a →=m(na →)

Доказательство закона реализуется посредством этих операций:

Таким образом, при наличии двух действительных чисел и одного вектора, актуализируется и первый распределительный закон, а формула выглядит так: (m+n)a →=ma →+na →

Более подробно доказательство закона:

Согласно второму распределительному закону, при наличии одного числа и двух векторов, мы получаем следующее выражение: m(a →+b→)=ma →+mb →

Доказательство второго закона:

Рисунок 5. Второй распределительный закон

Пример задачи с операцией умножения

Пример 1
Пусть x→=a →+b→, y→=a →−b→. Найти векторы:

  • 2x→+2y→
  • x→+12y→
  • −y→−x→
Решение.
  • x→+2y→ = 2(a →+b→)+2(a →−b→) = 2a →+2b→+2a →−2b→ = 4a →
  • x→+12y→ = a →+b→+12(a →−b→) = a →+b→+12a →−12b→ = 32a →+12b→ = 3a →+b→2
  • −y→−x→ = −(a →−b→)−(a →+b→) = −a →+b→−a →−b→ = −2a →
Узнать цену работы
Узнай цену
своей работы
Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
Закажи свою оригинальную работу
УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ