Производная частного
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная от частного равна разности произведения производной числителя по знаменателю и произведению числителя на производную знаменателя, деленную на квадрат знаменателя. \(\ \left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} \)
Следует помнить, что производная от отдельных двух функций НЕ РАВНО парциальной производной от каждого из них.
Примеры решения проблем на тему «Производные частные»
ПРИМЕР 1
Найти производную от функции \(\
y(x)=\frac{\ln x}{x}
\)
Требуемая производная
\(\
y^{\prime}(x)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}
\)
Согласно формуле «производная частная», мы имеем:
\(\
y^{\prime}(x)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}=\frac{(\ln x)^{\prime} \cdot x-\ln x \cdot(x)^{\prime}}{(x)^{2}}
\)
Найти производные в числителе последней фракции. Производные логарифма естественного
\(\
(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}
\)
и производная от независимой переменной
\(\
(x)^{\prime}=1
\)
Тогда мы имеем:
\(\
y^{\prime}(x)=\frac{(\ln x)^{\prime} \cdot x-\ln x \cdot(x)^{\prime}}{(x)^{2}}=\frac{\frac{1}{x} \cdot x-\ln x \cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}
\)
ПРИМЕР 2
Найти производную от функции \(\
y(x)=\frac{x}{\sin x}
\)
Требуемая производная
\(\
y^{\prime}(x)=\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{\prime}
\)
Согласно формуле мы имеем:
\(\
y^{\prime}(x)=\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{\prime}=\frac{(x)^{\prime} \cdot \sin x-x \cdot(\sin x)^{\prime}}{(\sin x)^{2}}
\)
Производный \(\
(x)^{\prime}
\)
независимая переменная равна единице, а производная от синуса равна косинусу того же аргумента: \(\
(x)^{\prime}=1(\sin x)^{\prime}=\cos x
\)
Таким образом, мы имеем: \(\
y^{\prime}(x)=\frac{(x)^{\prime} \cdot \sin x-x \cdot(\sin x)^{\prime}}{(\sin x)^{2}}=\frac{1 \cdot \sin x-x \cdot \cos x}{\sin ^{2} x}=\frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^{2} x}
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=\frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^{2} x}
\)