Узнать цену работы
Статьи по теме

Производная частного

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная от частного равна разности произведения производной числителя по знаменателю и произведению числителя на производную знаменателя, деленную на квадрат знаменателя. \(\ \left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} \)

Следует помнить, что производная от отдельных двух функций НЕ РАВНО парциальной производной от каждого из них.

Примеры решения проблем на тему «Производные частные»

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найти производную от функции \(\ y(x)=\frac{\ln x}{x} \)

  • Решение

    Требуемая производная \(\ y^{\prime}(x)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime} \)

    Согласно формуле «производная частная», мы имеем: \(\ y^{\prime}(x)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}=\frac{(\ln x)^{\prime} \cdot x-\ln x \cdot(x)^{\prime}}{(x)^{2}} \)

    Найти производные в числителе последней фракции. Производные логарифма естественного \(\ (\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} \) и производная от независимой переменной \(\ (x)^{\prime}=1 \)

    Тогда мы имеем: \(\ y^{\prime}(x)=\frac{(\ln x)^{\prime} \cdot x-\ln x \cdot(x)^{\prime}}{(x)^{2}}=\frac{\frac{1}{x} \cdot x-\ln x \cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}} \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найти производную от функции \(\ y(x)=\frac{x}{\sin x} \)

  • Решение

    Требуемая производная \(\ y^{\prime}(x)=\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{\prime} \)

    Согласно формуле мы имеем: \(\ y^{\prime}(x)=\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{\prime}=\frac{(x)^{\prime} \cdot \sin x-x \cdot(\sin x)^{\prime}}{(\sin x)^{2}} \)

    Производный \(\ (x)^{\prime} \) независимая переменная равна единице, а производная от синуса равна косинусу того же аргумента: \(\ (x)^{\prime}=1(\sin x)^{\prime}=\cos x \)

    Таким образом, мы имеем: \(\ y^{\prime}(x)=\frac{(x)^{\prime} \cdot \sin x-x \cdot(\sin x)^{\prime}}{(\sin x)^{2}}=\frac{1 \cdot \sin x-x \cdot \cos x}{\sin ^{2} x}=\frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^{2} x} \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=\frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^{2} x} \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ