Узнать цену работы
Статьи по теме

Производная экспоненциальной функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная показателя степени до степени равна одной и той же экспоненте. \(\ \left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x} \)

Обратите внимание, что \(\ e^{x} \) является единственной функцией, производная которой равна себе.

Если показатель степени является комплексной функцией \(\ u(x) \), то производная определяется по формуле: \(\ \left(e^{u(x)}\right)^{\prime}=e^{u(x)} \cdot(u(x))^{\prime} \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найти производную функции \(\ y(x)=e^{x^{2}-1} \)

  • Решение

    Требуемая производная \(\ y^{\prime}(x)=\left(e^{x^{2}-1}\right)^{\prime} \)

    Так как степень экспоненциальной функции отлична от \(\ \mathbf{x} \), то найдем производную по второй формуле \(\ \left(e^{u(x)}\right)^{\prime}=e^{u(x)} \cdot(u(x))^{\prime} \) .

    Тогда \(\ y^{\prime}(x)=\left(e^{x^{2}-1}\right)^{\prime}=e^{x^{2}-1} \cdot\left(x^{2}-1\right)^{\prime} \)

    Производная от разности двух функций равна разности производных каждого из них: \(\ \left(x^{2}-1\right)^{\prime}=\left(x^{2}\right)^{\prime}-(1)^{\prime} \)

    Производные \(\ x^{2} \) мы найдем в качестве производной степенной функции формулу \(\ \left(x^{n}\right)^{\prime}=n x^{n-1} \) : \(\ \left(x^{2}\right)^{\prime}=2 x^{2-1}=2 x \)

    И производная от единицы, как производная от константы, равна нулю: \(\ (1)^{\prime}=0 \)

    Так \(\ y^{\prime}(x)=e^{x^{2}-1} \cdot\left(x^{2}-1\right)^{\prime}=e^{x^{2}-1} \cdot(2 x-0)=2 x e^{x^{2}-1} \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=2 x e^{x^{2}-1} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найти производную функции \(\ y(x)=\sin e^{x} \)

  • Решение

    Мы дифференцируем функцию: \(\ y^{\prime}(x)=\left(\sin e^{x}\right)^{\prime} \)

    Производная синуса равна косинусу: \(\ (\sin x)^{\prime}=\cos x \) и поскольку аргумент синуса отличается от \(\ x \), мы по-прежнему умножаем его производную. То есть, мы имеем: \(\ y^{\prime}(x)=\left(\sin e^{x}\right)^{\prime}=\cos e^{x} \cdot\left(e^{x}\right)^{\prime} \)

    Производная от экспоненты равна одному и тому же показателю, тогда \(\ y^{\prime}(x)=\cos e^{x} \cdot\left(e^{x}\right)^{\prime}=\cos e^{x} \cdot e^{x}=e^{x} \cos e^{x} \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=e^{x} \cos e^{x} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ