Производная экспоненциальной функции
Производная показателя степени до степени равна одной и той же экспоненте. \(\ \left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x} \)
Обратите внимание, что \(\ e^{x} \) является единственной функцией, производная которой равна себе.
Если показатель степени является комплексной функцией \(\ u(x) \), то производная определяется по формуле: \(\ \left(e^{u(x)}\right)^{\prime}=e^{u(x)} \cdot(u(x))^{\prime} \)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Найти производную функции \(\
y(x)=e^{x^{2}-1}
\)
Требуемая производная
\(\
y^{\prime}(x)=\left(e^{x^{2}-1}\right)^{\prime}
\)
Так как степень экспоненциальной функции отлична от \(\
\mathbf{x}
\), то найдем производную по второй формуле \(\
\left(e^{u(x)}\right)^{\prime}=e^{u(x)} \cdot(u(x))^{\prime}
\) .
Тогда
\(\
y^{\prime}(x)=\left(e^{x^{2}-1}\right)^{\prime}=e^{x^{2}-1} \cdot\left(x^{2}-1\right)^{\prime}
\)
Производная от разности двух функций равна разности производных каждого из них:
\(\
\left(x^{2}-1\right)^{\prime}=\left(x^{2}\right)^{\prime}-(1)^{\prime}
\)
Производные \(\
x^{2}
\) мы найдем в качестве производной степенной функции формулу \(\
\left(x^{n}\right)^{\prime}=n x^{n-1}
\) : \(\
\left(x^{2}\right)^{\prime}=2 x^{2-1}=2 x
\)
И производная от единицы, как производная от константы, равна нулю:
\(\
(1)^{\prime}=0
\)
Так
\(\
y^{\prime}(x)=e^{x^{2}-1} \cdot\left(x^{2}-1\right)^{\prime}=e^{x^{2}-1} \cdot(2 x-0)=2 x e^{x^{2}-1}
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=2 x e^{x^{2}-1}
\)
ПРИМЕР 2
Найти производную функции \(\
y(x)=\sin e^{x}
\)
Мы дифференцируем функцию:
\(\
y^{\prime}(x)=\left(\sin e^{x}\right)^{\prime}
\)
Производная синуса равна косинусу: \(\
(\sin x)^{\prime}=\cos x
\) и поскольку аргумент синуса отличается от \(\
x
\), мы по-прежнему умножаем его производную. То есть, мы имеем: \(\
y^{\prime}(x)=\left(\sin e^{x}\right)^{\prime}=\cos e^{x} \cdot\left(e^{x}\right)^{\prime}
\)
Производная от экспоненты равна одному и тому же показателю, тогда \(\
y^{\prime}(x)=\cos e^{x} \cdot\left(e^{x}\right)^{\prime}=\cos e^{x} \cdot e^{x}=e^{x} \cos e^{x}
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=e^{x} \cos e^{x}
\)