Узнать цену работы
Статьи по теме

Производная котангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная котангенса равна минус единице, деленной на синус того же аргумента в квадрате. \(\ (\operatorname{ctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} x} \)

Заметим, что эта формула легко получается из того факта, что \(\ \operatorname{ctg} x=\frac{\cos x}{\sin x} \), а также из формулы дифференцирования частного: \(\ \left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} \)

с учетом того, что \(\ (\sin x)^{\prime}=\cos x \), \(\ (\cos x)^{\prime}=-\sin x \)

Если аргумент тангенса есть функция более сложная, чем просто «икс», то есть является сложной функцией, то надо умножить еще на производную аргумента. В этом случае формула производной принимает вид: \(\ (\operatorname{ctg} u(x))^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} u(x)} \cdot(u(x))^{\prime} \)

Примеры решения задач по теме «Производная котангенса»

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти производную функции \(\ y(x)=\sqrt{\operatorname{ctg} x} \)

  • Решение

    Искомая производная \(\ y^{\prime}(x)=(\sqrt{\operatorname{ctg} x})^{\prime} \)

    Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня и все это мы еще умножаем на производную от подкоренного выражения, так как там стоит функция более сложная, чем просто \(\ \mathbf{x} \) : \(\ y^{\prime}(x)=(\sqrt{\operatorname{ctg} x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{ctg} x}} \cdot(\operatorname{ctg} x)^{\prime} \)

    Производная котангенс икс равна минус единице деленной на минус синус квадрат икс, то есть: \(\ y^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{ctg} x}} \cdot(\operatorname{ctg} x)^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{ctg} x}} \cdot\left(-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)=-\frac{1}{2 \sin ^{2} x \sqrt{\operatorname{ctg} x}} \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=-\frac{1}{2 \sin ^{2} x \sqrt{\operatorname{ctg} x}} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Найти производную функции \(\ y(x)=\operatorname{ctg} \sqrt{x+1} \)

  • Решение

    Производная заданной функции равна: \(\ y^{\prime}(x)=(\operatorname{ctg} \sqrt{x+1})^{\prime} \)

    Производная от котангенса равна минус единице деленной на синус в квадрате того же аргумента. Так как заданная функция является сложной (аргумент котангенса отличен от просто \(\ \mathbf{x} \)), то еще умножаем на производную аргумента: \(\ y^{\prime}(x)=(\operatorname{ctg} \sqrt{x+1})^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} \sqrt{x+1}} \cdot(\sqrt{x+1})^{\prime} \)

    Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня. И так как подкоренное выражение отлично от x, то умножаем еще и на его производную: \(\ y^{\prime}(x)=-\frac{1}{\sin ^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x+1}} \cdot(x+1)^{\prime}=-\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin ^{2} \sqrt{x+1}} \cdot(x+1)^{\prime} \)

    Производная суммы равна сумме производных: \(\ (u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime} \). Тогда \(\ y^{\prime}(x)=-\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin ^{2} \sqrt{x+1}} \cdot(x+1)^{\prime}=-\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin ^{2} \sqrt{x+1}} \cdot\left[(x)^{\prime}+(1)^{\prime}\right] \)

    Производная от независимой переменной x равна единице, а производная константы 1 – нулю: \(\ y^{\prime}(x)=-\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin ^{2} \sqrt{x+1}} \cdot\left[(x)^{\prime}+(1)^{\prime}\right]=-\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin ^{2} \sqrt{x+1}} \cdot(1+0)=-\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin ^{2} \sqrt{x+1}} \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=-\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin ^{2} \sqrt{x+1}} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ