Производная котангенса
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная котангенса равна минус единице, деленной на синус того же аргумента в квадрате. \(\ (\operatorname{ctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} x} \)
Заметим, что эта формула легко получается из того факта, что \(\ \operatorname{ctg} x=\frac{\cos x}{\sin x} \), а также из формулы дифференцирования частного: \(\ \left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} \)
с учетом того, что \(\ (\sin x)^{\prime}=\cos x \), \(\ (\cos x)^{\prime}=-\sin x \)
Если аргумент тангенса есть функция более сложная, чем просто «икс», то есть является сложной функцией, то надо умножить еще на производную аргумента. В этом случае формула производной принимает вид: \(\ (\operatorname{ctg} u(x))^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} u(x)} \cdot(u(x))^{\prime} \)
Примеры решения задач по теме «Производная котангенса»
ПРИМЕР 1
Найти производную функции \(\
y(x)=\sqrt{\operatorname{ctg} x}
\)
Искомая производная \(\
y^{\prime}(x)=(\sqrt{\operatorname{ctg} x})^{\prime}
\)
Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня и все это мы еще умножаем на производную от подкоренного выражения, так как там стоит функция более сложная, чем просто \(\
\mathbf{x}
\) :
\(\
y^{\prime}(x)=(\sqrt{\operatorname{ctg} x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{ctg} x}} \cdot(\operatorname{ctg} x)^{\prime}
\)
Производная котангенс икс равна минус единице деленной на минус синус квадрат икс, то есть:
\(\
y^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{ctg} x}} \cdot(\operatorname{ctg} x)^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{ctg} x}} \cdot\left(-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)=-\frac{1}{2 \sin ^{2} x \sqrt{\operatorname{ctg} x}}
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=-\frac{1}{2 \sin ^{2} x \sqrt{\operatorname{ctg} x}}
\)
ПРИМЕР 2
Найти производную функции \(\
y(x)=\operatorname{ctg} \sqrt{x+1}
\)
Производная заданной функции равна:
\(\
y^{\prime}(x)=(\operatorname{ctg} \sqrt{x+1})^{\prime}
\)
Производная от котангенса равна минус единице деленной на синус в квадрате того же аргумента. Так как заданная функция является сложной (аргумент котангенса отличен от просто \(\
\mathbf{x}
\)), то еще умножаем на производную аргумента: \(\
y^{\prime}(x)=(\operatorname{ctg} \sqrt{x+1})^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} \sqrt{x+1}} \cdot(\sqrt{x+1})^{\prime}
\)
Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня. И так как подкоренное выражение отлично от x, то умножаем еще и на его производную: \(\
y^{\prime}(x)=-\frac{1}{\sin ^{2} \sqrt{x+1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x+1}} \cdot(x+1)^{\prime}=-\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin ^{2} \sqrt{x+1}} \cdot(x+1)^{\prime}
\)
Производная суммы равна сумме производных: \(\
(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}
\). Тогда
\(\
y^{\prime}(x)=-\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin ^{2} \sqrt{x+1}} \cdot(x+1)^{\prime}=-\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin ^{2} \sqrt{x+1}} \cdot\left[(x)^{\prime}+(1)^{\prime}\right]
\)
Производная от независимой переменной x равна единице, а производная константы 1 – нулю:
\(\
y^{\prime}(x)=-\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin ^{2} \sqrt{x+1}} \cdot\left[(x)^{\prime}+(1)^{\prime}\right]=-\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin ^{2} \sqrt{x+1}} \cdot(1+0)=-\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin ^{2} \sqrt{x+1}}
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=-\frac{1}{2 \sqrt{x+1} \sin ^{2} \sqrt{x+1}}
\)