Производная неявной функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если функция \(\ y=y(x) \) задается уравнением \(\ F(x ; y(x))=0 \), то говорят, что она дается неявно.

Чтобы найти производную \(\ y^{\prime}(x) \) неявно заданной функции, нет необходимости преобразовывать ее в явную форму (и это не всегда возможно сделать). Для этого, зная уравнение \(\ F(x ; y)=0 \), достаточно выполнить следующие шаги:

1. Во-первых, необходимо дифференцировать обе части уравнения относительно независимой переменной \(\ x \), считая, что \(\ y \) - функция, дифференцируемая по \(\ x \). Чтобы найти производную, используйте правило для вычисления производной комплексной функции.

В правой части равенства получаем 0 как производную от константы.

Комментарий. Если правая часть отлична от нуля, т. е. неявное уравнение имеет вид \(\ f(x ; y)=g(x ; y) \), то функцию \(\ g(x ; y) \) следует перемещать влево и сводить исходное уравнение к виду\(\ f(x ; y)-g(x ; y)=F(x ; y)=0 \)

2. Решить полученное уравнение для производной \(\ y^{\prime}(x) \)

Примеры вычисления производных неявных функций

ПРИМЕР 1

Задача. Чтобы найти производную функции \(\ 3 x^{2} y^{2}-5 x=3 y-1 \), заданную неявно.

Решение. Переведите выражение \(\ 3 y-1 \) в правой части уравнения влево:

\(\ 3 x^{2} y^{2}-5 x-3 y+1=0 \) Далее, мы дифференцируем левую и правую части последнего равенства:

\(\ \left(3 x^{2} y^{2}-5 x-3 y+1\right)^{\prime}=(0)^{\prime} \)

Используя свойство линейности производной, получим:

\(\ 3 \cdot\left(x^{2} y^{2}\right)^{\prime}-5 \cdot(x)^{\prime}-3 \cdot(y)^{\prime}+(1)^{\prime}=0 \)

Первое слагаемое дифференцируется как продукт:

\(\ (u v)^{\prime}=(u)^{\prime} v+u \cdot(v)^{\prime} \)

в то же время предположим, что \(\ y \) - функция от \(\ x \), поэтому мы найдем ее производную как производную от комплексной функции: \(\ (u(v))^{\prime}=u^{\prime}(v) \cdot v^{\prime} \)

Будет:

\(\ 3 \cdot\left(x^{2} y^{2}\right)^{\prime}-5 \cdot(x)^{\prime}-3 \cdot(y)^{\prime}+(1)^{\prime}=0 \)

Было учтено, что \(\ (y)^{\prime}=y^{\prime} \)

Итак, для данной функции имеем:

\(\ 6 x y^{2}+6 x^{2} y y^{\prime}-5 \cdot 1-3 \cdot y^{\prime}+0=0 \)

Решим полученное уравнение для функции \(\ y^{\prime}(x) \)

\(\ \left(6 x^{2} y-3\right) \cdot y^{\prime}=5-6 x y^{2} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{5-6 x y^{2}}{6 x^{2} y-3} \)

Ответ \(\ y^{\prime}=\frac{5-6 x y^{2}}{6 x^{2} y-3} \)

ПРИМЕР 2

Задача

Чтобы найти производную функции \(\ 3 x^{4} y^{5}+e^{7 x-4 y}-4 x^{5}-2 y^{4}=0 \), заданную неявно.

Решение

Дифференцируйте левую и правую части данного равенства: \(\ \left(3 x^{4} y^{5}+e^{7 x-4 y}-4 x^{5}-2 y^{4}\right)^{\prime}=(0)^{\prime} \)

Производная суммы / разности функций равна сумме / разности производных, а также константу можно взять из знака производной: \(\ 3 \cdot\left(x^{4} y^{5}\right)^{\prime}+\left(e^{7 x-4 y}\right)^{\prime}-4 \cdot\left(x^{5}\right)^{\prime}-2 \cdot\left(y^{4}\right)^{\prime}=0 \)

Найдем производную от каждого слагаемого в левой части последнего уравнения:

\(\ 3 \cdot\left[\left(x^{4}\right)^{\prime} \cdot y^{5}+x^{4} \cdot\left(y^{5}\right)^{\prime}\right]+e^{7 x-4 y} \cdot(7 x-4 y)^{\prime}-4 \cdot 5 x^{4}-2 \cdot 4 y^{3} \cdot(y)^{\prime}=0 \)

\(\ 3 \cdot\left[4 x^{3} y^{5}+x^{4} \cdot 5 y^{4}(y)^{\prime}\right]+e^{7 x-4 y} \cdot\left[7 \cdot(x)^{\prime}-4 \cdot(y)^{\prime}\right]-20 x^{4}-8 y^{3} y^{\prime}=0 \)

\(\ 12 x^{3} y^{5}+15 x^{4} y^{4} y^{\prime}+e^{7 x-4 y} \cdot\left(7 \cdot 1-4 y^{\prime}\right)-20 x^{4}-8 y^{3} y^{\prime}=0 \)

\(\ 12 x^{3} y^{5}+15 x^{4} y^{4} y^{\prime}+7 e^{7 x-4 y}-4 e^{7 x-4 y} y^{\prime}-20 x^{4}-8 y^{3} y^{\prime}=0 \)

Разрешить полученное равенство для искомой производной

\(\ \left(15 x^{4} y^{4}-4 e^{7 x-4 y}-8 y^{3}\right) y^{\prime}=20 x^{4}-7 e^{7 x-4 y}-12 x^{3} y^{5} \)

Отсюда

\(\ y^{\prime}=\frac{20 x^{4}-7 e^{7 x-4 y}-12 x^{3} y^{5}}{15 x^{4} y^{4}-4 e^{7 x-4 y}-8 y^{3}} \)

Ответ \(\ y^{\prime}=\frac{20 x^{4}-7 e^{7 x-4 y}-12 x^{3} y^{5}}{15 x^{4} y^{4}-4 e^{7 x-4 y}-8 y^{3}} \)