Узнать цену работы
Статьи по теме

Производная показательной функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная от экспоненциальной функции равна этой экспоненциальной функции, умноженной на натуральный логарифм базы степени. \(\ \left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln a \)

Если базис степени равен \(\ e : a=e \) , формула принимает вид: \(\ \left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x} \ln e=e^{x} \cdot 1=e^{x} \)

Примеры решения проблем

  • ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найти производную функции \(\ y(x)=5^{x^{2}} \)

  • Решение

    Требуемое производное \(\ y^{\prime}(x)=\left(5^{x^{2}}\right)^{\prime} \)

    Найти производную по формуле для экспоненциальной функции, а так как степень является более сложным выражением, чем просто \(\ x \), мы также умножаем на производную от степени то есть \(\ y^{\prime}(x)=\left(5^{x^{2}}\right)^{\prime}=5^{x^{2}} \cdot\left(x^{2}\right)^{\prime} \)

    Производный \(\ x^{2} \) определяется как производная от степенной функции: \(\ \left(x^{2}\right)^{\prime}=2 x^{2-1}=2 x \) тогда \(\ y^{\prime}(x)=5^{x^{2}} \cdot\left(x^{2}\right)^{\prime}=5^{x^{2}} \cdot 2 x=2 x \cdot 5^{x^{2}} \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=2 x \cdot 5^{x^{2}} \)

  • ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найдите производную от функции \(\ y(x)=\cos 4^{x} \)

  • Решение

    Требуемое производное \(\ y^{\prime}(x)=\left(\cos 4^{x}\right)^{\prime} \)

    Производная косинуса равна минус синус и умножается на производную от аргумента, так как она (аргумент) отличается от \(\ \mathbf{x} \): \(\ y^{\prime}(x)=\left(\cos 4^{x}\right)^{\prime}=-\sin 4^{x} \cdot\left(4^{x}\right)^{\prime} \)

    Производные экспоненциальной функции \(\ \left(4^{x}\right)^{\prime}=4^{x} \ln 4 \)

    Итак, у нас есть: \(\ y^{\prime}(x)=-\sin 4^{x} \cdot\left(4^{x}\right)^{\prime}=-\sin 4^{x} \cdot 4^{x} \ln 4 \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=-\sin 4^{x} \cdot 4^{x} \ln 4 \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ