Производная произведения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная произведения равна производной первого сомножителя умноженной на второй плюс первый сомножитель умноженный на производную второго. \(\ (u \cdot v)^{\prime}=(u)^{\prime} \cdot v+u \cdot(v)^{\prime} \)
Стоит запомнить, что производная произведения НЕ РАВНА произведению производных.
Примеры решения задач по теме «Производная произведения»
ПРИМЕР 1
Найти производную функции \(\
y(x)=(x+1) \ln x
\)
Искомая производная
\(\
y^{\prime}(x)=((x+1) \ln x)^{\prime}
\)
Таким образом, надо найти производную произведения двух функций \(\
u(x)=x+1
\) и \(\
v(x)=\ln x
\) . Тогда по формуле имеем: \(\
y^{\prime}(x)=((x+1) \ln x)^{\prime}=(x+1)^{\prime} \cdot \ln x+(x+1) \cdot(\ln x)^{\prime}
\)
Найдем производную функции \(\
u(x)=x+1
\) , то есть \(\
(x+1)^{\prime}
\) . Так как производная суммы равна сумме производных, то получаем: \(\
(x+1)^{\prime}=(x)^{\prime}+(1)^{\prime}
\)
Производная независимой переменной \(\
\mathbf{x}
\) равна единице: \(\
(x)^{\prime}=1
\)
а производная единицы, как константы, равна нулю: \(\
(1)^{\prime}=0
\) то есть
\(\
(x+1)^{\prime}=(x)^{\prime}+(1)^{\prime}=1+0=1
\)
Производная от натурального логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию: \(\
v^{\prime}(x)=(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}
\) итак,
\(\
y^{\prime}(x)=(x+1)^{\prime} \cdot \ln x+(x+1) \cdot(\ln x)^{\prime}=1 \cdot \ln x+(x+1) \cdot \frac{1}{x}=\ln x+\frac{x+1}{x}
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=\ln x+\frac{x+1}{x}
\)
ПРИМЕР 2
Найти производную функции \(\
y(x)=x e^{x}
\)
Искомая производная равна:
\(\
y^{\prime}(x)=\left(x e^{x}\right)^{\prime}
\)
Применяем формулу «производная произведения \(\
(u \cdot v)^{\prime}=(u)^{\prime} \cdot v+u \cdot(v)^{\prime}
\)
\(\
y^{\prime}(x)=\left(x e^{x}\right)^{\prime}=(x)^{\prime} \cdot e^{x}+x \cdot\left(e^{x}\right)^{\prime}
\)
Производная независимой переменной \(\
\mathbf{x}
\) равна единице:
\(\
(x)^{\prime}=1
\)
Производная экспоненты равна этой же функции:
\(\
\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}
\)
Таким образом,
\(\
y^{\prime}(x)=(x)^{\prime} \cdot e^{x}+x \cdot\left(e^{x}\right)^{\prime}=1 \cdot e^{x}+x \cdot e^{x}=(x+1) e^{x}
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=(x+1) e^{x}
\)