Узнать цену работы
Статьи по теме

Производная произведения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная произведения равна производной первого сомножителя умноженной на второй плюс первый сомножитель умноженный на производную второго. \(\ (u \cdot v)^{\prime}=(u)^{\prime} \cdot v+u \cdot(v)^{\prime} \)

Стоит запомнить, что производная произведения НЕ РАВНА произведению производных.

Примеры решения задач по теме «Производная произведения»

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти производную функции \(\ y(x)=(x+1) \ln x \)

  • Решение

    Искомая производная \(\ y^{\prime}(x)=((x+1) \ln x)^{\prime} \)

    Таким образом, надо найти производную произведения двух функций \(\ u(x)=x+1 \) и \(\ v(x)=\ln x \) . Тогда по формуле имеем: \(\ y^{\prime}(x)=((x+1) \ln x)^{\prime}=(x+1)^{\prime} \cdot \ln x+(x+1) \cdot(\ln x)^{\prime} \)

    Найдем производную функции \(\ u(x)=x+1 \) , то есть \(\ (x+1)^{\prime} \) . Так как производная суммы равна сумме производных, то получаем: \(\ (x+1)^{\prime}=(x)^{\prime}+(1)^{\prime} \)

    Производная независимой переменной \(\ \mathbf{x} \) равна единице: \(\ (x)^{\prime}=1 \)

    а производная единицы, как константы, равна нулю: \(\ (1)^{\prime}=0 \) то есть \(\ (x+1)^{\prime}=(x)^{\prime}+(1)^{\prime}=1+0=1 \)

    Производная от натурального логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию: \(\ v^{\prime}(x)=(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} \) итак, \(\ y^{\prime}(x)=(x+1)^{\prime} \cdot \ln x+(x+1) \cdot(\ln x)^{\prime}=1 \cdot \ln x+(x+1) \cdot \frac{1}{x}=\ln x+\frac{x+1}{x} \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=\ln x+\frac{x+1}{x} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Найти производную функции \(\ y(x)=x e^{x} \)

  • Решение

    Искомая производная равна: \(\ y^{\prime}(x)=\left(x e^{x}\right)^{\prime} \)

    Применяем формулу «производная произведения \(\ (u \cdot v)^{\prime}=(u)^{\prime} \cdot v+u \cdot(v)^{\prime} \)

    \(\ y^{\prime}(x)=\left(x e^{x}\right)^{\prime}=(x)^{\prime} \cdot e^{x}+x \cdot\left(e^{x}\right)^{\prime} \)

    Производная независимой переменной \(\ \mathbf{x} \) равна единице: \(\ (x)^{\prime}=1 \)

    Производная экспоненты равна этой же функции: \(\ \left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x} \)

    Таким образом, \(\ y^{\prime}(x)=(x)^{\prime} \cdot e^{x}+x \cdot\left(e^{x}\right)^{\prime}=1 \cdot e^{x}+x \cdot e^{x}=(x+1) e^{x} \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=(x+1) e^{x} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ