Производная разности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная от разности равна разности производных. \(\ (u-v)^{\prime}=(u)^{\prime}-(v)^{\prime} \)
Вышеприведенную формулу можно распространить на случай трех, четырех или более выражений: \(\ (u-v-w-z)^{\prime}=(u)^{\prime}-(v)^{\prime}-(w)^{\prime}-(z)^{\prime} \)
Примеры решения проблем на тему «Производные разницы»
ПРИМЕР 1
Найти производную функции \(\
y(x)=3 x-7
\)
Требуемая производная
\(\
y^{\prime}(x)=(3 x-7)^{\prime}
\)
Производная от разности равна разности производных:
\(\
y^{\prime}(x)=(3 x-7)^{\prime}=(3 x)^{\prime}-(7)^{\prime}
\)
Найдите производную сокращенного \(\
(3 x)^{\prime}
\)
Вначале мы берем константу по знаку производной:
\(\
(3 x)^{\prime}=3 \cdot(x)^{\prime}
\)
Производная от независимой переменной - одна: \(\
(3 x)^{\prime}=3 \cdot(x)^{\prime}=3 \cdot 1=3
\)
Производная вычитаемого – константы 7 – равна нулю: \(\
(7)^{\prime}=0
\)
Так,
\(\
y^{\prime}(x)=(3 x)^{\prime}-(7)^{\prime}=3-0=3
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=3
\)
ПРИМЕР 2
Найти производную функции \(\
y(x)=e^{x}-4^{x}
\)
Требуемая производная
\(\
y^{\prime}(x)=\left(e^{x}-4^{x}\right)^{\prime}
\)
Производная от разности равна разности производных, то есть. Мы преобразуем выражение следующим образом: \(\
y^{\prime}(x)=\left(e^{x}-4^{x}\right)^{\prime}=\left(e^{x}\right)^{\prime}-\left(4^{x}\right)^{\prime}
\)
Производная экспонента равна той же функции:
\(\
\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}
\)
Производные экспоненциальной функции
\(\
\left(4^{x}\right)^{\prime}=4^{x} \ln 4
\)
В этом случае,
\(\
y^{\prime}(x)=\left(e^{x}\right)^{\prime}-\left(4^{x}\right)^{\prime}=e^{x}-4^{x} \ln 4
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=e^{x}-4^{x} \ln 4
\)