Производная синуса
Производная синуса равна косинусу того же аргумента. \(\ (\sin x)^{\prime}=\cos x \)
То есть синус просто «заменяется» на косинус. Заметим, что производная от косинуса равна минус синус того же аргумента: \(\ (\cos x)^{\prime}=-\sin x \)
Чтобы не запутаться, мне принадлежит мнемоническое правило:
Синий косяк
Косяк – синий
Первая строка показывает, что производная от синуса равна косинусу (если вы смотрите на выбранные буквы), а вторая строка дает понять, что производная от косинуса представляет собой минус синус (выбранные буквы и тире)
Примеры решения проблем на тему «Синусовая производная»
ПРИМЕР 1
Найдите производную от функции \(\
y(x)=\sin \sqrt{x}
\)
Требуемая производная
\(\
y^{\prime}(x)=(\sin \sqrt{x})^{\prime}
\)
Аргумент sine не просто x («X»), поэтому невозможно просто применить приведенную выше формулу, поскольку задана сложная функция. Следовательно, производная от синуса - косинус того же аргумента, найденный по приведенной выше формуле, должна быть умножена на производную от аргумента:
\(\
y^{\prime}(x)=(\sin \sqrt{x})^{\prime}=\cos \sqrt{x} \cdot(\sqrt{x})^{\prime}
\)
Производная от корня делится на два одинаковых корня. Тогда мы имеем: \(\
y^{\prime}(x)=\cos \sqrt{x} \cdot(\sqrt{x})^{\prime}=\cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}=\frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=\frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}
\)
ПРИМЕР 2
Найдите производную от функции \(\
y(x)=2 \sin (3 x+4)
\)
Требуемая производная:
\(\
y^{\prime}(x)=(2 \sin (3 x+4))^{\prime}
\)
На первом шаге решения мы используем правила дифференцирования, а именно, что константу можно взять из знака производной:
\(\
y^{\prime}(x)=(2 \sin (3 x+4))^{\prime}=2(\sin (3 x+4))^{\prime}
\)
Затем мы найдем производную от синуса - это косинус того же аргумента. И поскольку аргумент является выражением, более сложным, чем просто x, мы имеем дело со сложной функцией и поэтому все еще нужно умножить на производную от аргумента, то есть:
\(\
y^{\prime}(x)=2(\sin (3 x+4))^{\prime}=2 \cdot \cos (3 x+4) \cdot(3 x+4)^{\prime}
\)
Производная суммы равна сумме производных, тогда:
\(\
y^{\prime}(x)=2 \cdot \cos (3 x+4) \cdot(3 x+4)^{\prime}=2 \cdot \cos (3 x+4) \cdot\left[(3 x)^{\prime}+(4)^{\prime}\right]
\)
Производные \(\
(3 x)^{\prime}
\), как производная от константы, умноженной на х, равны 3; и производная \(\
(4)^{\prime}
\), производная от константы, равна 0.
Таким образом, мы имеем:
\(\
y^{\prime}(x)=2 \cdot \cos (3 x+4) \cdot\left[(3 x)^{\prime}+(4)^{\prime}\right]=2 \cos (3 x+4)[3+0]=6 \cos (3 x+4)
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=6 \cos (3 x+4)
\)