Узнать цену работы
Статьи по теме

Производная синуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная синуса равна косинусу того же аргумента. \(\ (\sin x)^{\prime}=\cos x \)

То есть синус просто «заменяется» на косинус. Заметим, что производная от косинуса равна минус синус того же аргумента: \(\ (\cos x)^{\prime}=-\sin x \)

Чтобы не запутаться, мне принадлежит мнемоническое правило:

Синий косяк

Косяк – синий

Первая строка показывает, что производная от синуса равна косинусу (если вы смотрите на выбранные буквы), а вторая строка дает понять, что производная от косинуса представляет собой минус синус (выбранные буквы и тире)

Примеры решения проблем на тему «Синусовая производная»

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найдите производную от функции \(\ y(x)=\sin \sqrt{x} \)

  • Решение

    Требуемая производная \(\ y^{\prime}(x)=(\sin \sqrt{x})^{\prime} \)

    Аргумент sine не просто x («X»), поэтому невозможно просто применить приведенную выше формулу, поскольку задана сложная функция. Следовательно, производная от синуса - косинус того же аргумента, найденный по приведенной выше формуле, должна быть умножена на производную от аргумента: \(\ y^{\prime}(x)=(\sin \sqrt{x})^{\prime}=\cos \sqrt{x} \cdot(\sqrt{x})^{\prime} \)

    Производная от корня делится на два одинаковых корня. Тогда мы имеем: \(\ y^{\prime}(x)=\cos \sqrt{x} \cdot(\sqrt{x})^{\prime}=\cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}=\frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=\frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найдите производную от функции \(\ y(x)=2 \sin (3 x+4) \)

  • Решение

    Требуемая производная: \(\ y^{\prime}(x)=(2 \sin (3 x+4))^{\prime} \)

    На первом шаге решения мы используем правила дифференцирования, а именно, что константу можно взять из знака производной: \(\ y^{\prime}(x)=(2 \sin (3 x+4))^{\prime}=2(\sin (3 x+4))^{\prime} \)

    Затем мы найдем производную от синуса - это косинус того же аргумента. И поскольку аргумент является выражением, более сложным, чем просто x, мы имеем дело со сложной функцией и поэтому все еще нужно умножить на производную от аргумента, то есть: \(\ y^{\prime}(x)=2(\sin (3 x+4))^{\prime}=2 \cdot \cos (3 x+4) \cdot(3 x+4)^{\prime} \)

    Производная суммы равна сумме производных, тогда: \(\ y^{\prime}(x)=2 \cdot \cos (3 x+4) \cdot(3 x+4)^{\prime}=2 \cdot \cos (3 x+4) \cdot\left[(3 x)^{\prime}+(4)^{\prime}\right] \)

    Производные \(\ (3 x)^{\prime} \), как производная от константы, умноженной на х, равны 3; и производная \(\ (4)^{\prime} \), производная от константы, равна 0.

    Таким образом, мы имеем: \(\ y^{\prime}(x)=2 \cdot \cos (3 x+4) \cdot\left[(3 x)^{\prime}+(4)^{\prime}\right]=2 \cos (3 x+4)[3+0]=6 \cos (3 x+4) \)

    Ответ \(\ y^{\prime}(x)=6 \cos (3 x+4) \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ