Производная сложной функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. \(\ (u(v(x)))^{\prime}=u^{\prime}(v) \cdot v^{\prime}(x) \)
В формуле функция \(\ u(v) \) называется внешней, а функция \(\ v(x) \) – внутренней
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Найти производную функции \(\
y(x)=\cos (2 x+1)
\)
Искомая производная
\(\
y^{\prime}(x)=(\cos (2 x+1))^{\prime}
\)
Функция, производную которой ищем, является сложной. В данном случае внешняя функция \(\
u(v)=\cos x
\) , а внутренняя функция \(\
v(x)=2 x+1
\)
Тогда производная внешней функции (производная косинуса)
\(\
u^{\prime}(v)=(\cos v)^{\prime}=-\sin v
\)
Производная внутренней функции:
\(\
v^{\prime}(x)=(2 x+1)^{\prime}
\)
Производная суммы равна сумме производных:
\(\
v^{\prime}(x)=(2 x+1)^{\prime}=(2 x)^{\prime}+(1)^{\prime}
\)
В первом слагаемом вынесем константу 2 за знак производной, а производная второго слагаемого – единицы – равна нулю, как производная константы:
\(\
v^{\prime}(x)=(2 x)^{\prime}+(1)^{\prime}=2 \cdot(x)^{\prime}+0=2 \cdot(x)^{\prime}
\)
Производная независимой переменной равна единице:
\(\
v^{\prime}(x)=2 \cdot(x)^{\prime}=2
\)
Таким образом, согласно формуле производной сложной функции \(\
(u(v(x)))^{\prime}=u^{\prime}(v) \cdot v^{\prime}(x)
\) имеем, что
\(\
y^{\prime}(x)=(\cos (2 x+1))^{\prime}=-\sin v \cdot 2=-2 \sin v=-2 \sin (2 x+1)
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=-2 \sin (2 x+1)
\)
ПРИМЕР 2
Найти производную функции \(\
y(x)=(3-x)^{2}
\)
Искомая производная
\(\
y^{\prime}(x)=\left((3-x)^{2}\right)^{\prime}
\)
В данном случае внешней функцией есть функция $\(\
u(v)=v^{2}
\), где внутренняя функция \(\
v(x)=3-x
\)
Тогда, согласно формуле \(\
(u(v(x)))^{\prime}=u^{\prime}(v) \cdot v^{\prime}(x)
\) , получаем, что
\(\
y^{\prime}(x)=\left((3-x)^{2}\right)^{\prime}=\left(v^{2}\right)^{\prime} \cdot(3-x)^{\prime}
\)
Производную первого множителя найдем по формуле производной степенной функции:
\(\
\left(x^{n}\right)^{\prime}=n x^{n-1}
\)
Тогда
\(\
u^{\prime}(v)=\left(v^{2}\right)^{\prime}=2 v^{2-1}=2 v=2(3-x)
\)
Находим производную внутренней функции \(\
(3-x)^{\prime}
\). Производная разности равна разности производных: \(\
(3-x)^{\prime}=(3)^{\prime}-(x)^{\prime}
\)
Производная тройки, как константы, равна нулю: \(\
(3)^{\prime}=0
\)
Производная независимой переменной равна единице: \(\
(x)^{\prime}=1
\)
То есть \(\
(3-x)^{\prime}=(3)^{\prime}-(x)^{\prime}=0-1=-1
\)
Таким образом \(\
y^{\prime}(x)=\left(v^{2}\right)^{\prime} \cdot(3-x)^{\prime}=2(3-x) \cdot(-1)=-2(3-x)=2(x-3)
\)
Ответ \(\
y^{\prime}(x)=2(x-3)
\)