Производная тангенса
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тангенс производства равен единице, разделенной на косинус того же квадрата аргумента. \(\ (\operatorname{tg} x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x} \)
Эта формула легко получить, зная производные синуса и косинуса: \(\ (\sin x)^{\prime}=\cos x \), \(\ (\cos x)^{\prime}=-\sin x \)
а также формулу для дифференциации конкретного: \(\ \left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} \)
Согласно тригонометрическим формулам \(\ \operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x} \) затем \(\ (\operatorname{tg} x)^{\prime}=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime}=\frac{(\sin x)^{\prime} \cdot \cos x-\sin x \cdot(\cos x)^{\prime}}{(\cos x)^{2}}=\frac{\cos x \cdot \cos x-\sin x \cdot(-\sin x)}{\cos ^{2} x}=\frac{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}=\frac{1}{\cos ^{2} x} \)
Примеры решений проблем по теме «Тангенс производства»
ПРИМЕР 1
Найдите производную от функции \(\
y(x)=\operatorname{tg}^{2} x
\)
Требуемая производная:
\(\
y^{\prime}(x)=\left(\operatorname{tg}^{2} x\right)^{\prime}
\)
Перепишите функцию под знаком производной следующим образом:
\(\
y^{\prime}(x)=\left((\operatorname{tg} x)^{2}\right)^{\prime}
\)
То есть, функция является функцией мощности. Производство таких функций осуществляется по формуле: \(\
\left(x^{n}\right)^{\prime}=n x^{n-1}
\)
В этом случае, как правило,
\(\
y^{\prime}(x)=\left((\operatorname{tg} x)^{2}\right)^{\prime}=2(\operatorname{tg} x)^{2-1} \cdot(\operatorname{tg} x)^{\prime}
\)
Тангенс производства равен единице, разделенной на квадрат косинуса, тогда
\(\
y^{\prime}(x)=2 \operatorname{tg} x \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x}=\frac{2 \operatorname{tg} x}{\cos ^{2} x}
\)
\(\
y^{\prime}(x)=\frac{2 \operatorname{tg} x}{\cos ^{2} x}
\)
Найдите производную от функции \(\ y(x)=2 \operatorname{tg} 5 x \)
Требуемая производная \(\ y^{\prime}(x)=(2 \operatorname{tg} 5 x)^{\prime} \)
В соответствии с правилами дифференцирования константа выставляется для знака производной: \(\ y^{\prime}(x)=2 \cdot(\operatorname{tg} 5 x)^{\prime} \)
Производная касательной найдена по формуле: \(\ (\operatorname{tg} x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x} \)
Но так как в нашем случае аргументы касательной являются сложной функцией (выражение 5x отличается от просто x), мы все же умножаем на производную от аргумента \(\ (5 x)^{\prime} \) : \(\ y^{\prime}(x)=2 \cdot(\operatorname{tg} 5 x)^{\prime}=2 \cdot \frac{1}{\cos ^{2} 5 x} \cdot(5 x)^{\prime} \)
Константа 5 берется из знака производной: \(\ y^{\prime}(x)=2 \cdot(\operatorname{tg} 5 x)^{\prime}=\frac{2}{\cos ^{2} 5 x} \cdot 5 \cdot(x)^{\prime}=\frac{10}{\cos ^{2} 5 x} \cdot(x)^{\prime} \)
Производство независимой переменной \(\ \mathbf{x} \) равно единице: \(\ y^{\prime}(x)=\frac{10}{\cos ^{2} 5 x} \cdot(x)^{\prime}=\frac{10}{\cos ^{2} 5 x} \cdot 1=\frac{10}{\cos ^{2} 5 x} \)
Ответ: \(\ y^{\prime}(x)=\frac{10}{\cos ^{2} 5 x} \)