Промежутки выпуклости и вогнутости функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция \(\
y=f(x)
\)a называется выпуклой (вогнутой) на некотором интервале \(\
(a ; b)
\) , если на этом интервале график \(\
y=f(x)
\) расположен не выше (не ниже) касательной, проведённой к нему в произвольной точке интервала \(\
(a ; b)
\) .
Условия вогнутости и выпуклости функции на интервале
Если на некотором интервале \(\
(a ; b)
\) вторая производная функции \(\
y=f(x)
\) сохраняет знак «+» для всех точек интервала, то на этом интервале функция вогнута (обозначается \(\
\bigcup
\) ). Если на некотором интервале \(\
(a ; b)
\) вторая производная \(\
f^{\prime \prime}(x)<0
\) для всех точек интервала, то на этом говорят, что функция выпукла (обозначается \(\
\bigcap
\) ).
Для промежутков вогнутости и выпуклости функции \(\
f(x)
\)необходимо:
1.найти область определения функции;
2.найти её вторую производную \(\
f^{\prime \prime}(x)
\) ;
3.найти стационарные точки функции, то есть решить уравнение \(\
f^{\prime \prime}(x)=0
\);
4.определить знак второй производной на каждом из промежутков, на которые стационарные точки разбивают область определения функции;
5.согласно условию вогнутости и выпуклости функции на интервале определить промежутки вогнутости и выпуклости.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Найти промежутки вогнутости и выпуклости функции \(\
y=\left(x^{2}-2\right)^{2}
\)
Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем вторую производную заданной функции
\(\
y^{\prime}=2\left(x^{2}-2\right) \cdot 2 x=4 x^{3}-8 x
\)
\(\
y^{\prime \prime}=12 x^{2}-8
\)
Приравняем к нулю вторую производную и найдем корни полученного уравнения
\(\
12 x^{2}-8=0 \Leftrightarrow 3 x^{2}-2=0 \Leftrightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}
\)
Полученные точки разбивают область определения на три интервала. Определим в этих интервалах знак второй производной и результаты занесем в таблицу
\(\
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mathcal{X}
&
\left(-\infty ;-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)
&
\left(-\sqrt{\frac{2}{3}} ; \sqrt{\frac{2}{3}}\right)
&
\left(\sqrt{\frac{2}{3}} ;+\infty\right)
\\ \hline
y^{\prime \prime}
& +& -& +\\ \hline
y&
\bigcup &
\bigcap
&
\bigcup \\ \hline
\end{array}
\)
Функция \(\
y=\left(x^{2}-2\right)^{2}
\) выпукла на интервале \(\
\left(-\sqrt{\frac{2}{3}} ; \sqrt{\frac{2}{3}}\right)
\) и вогнута на промежутках \(\
\left(-\infty ;-\sqrt{\frac{2}{3}}\right),\left(\sqrt{\frac{2}{3}} ;+\infty\right)
\)
ПРИМЕР 2
Найти промежутки вогнутости и выпуклости функции
\(\
y=\frac{2 x}{x^{2}+1}
\)
Область определения функции: \(\
D(y) : x \in(-\infty ;+\infty)
\) . Найдем вторую производную функции
\(\
y^{\prime}=\frac{2\left(x^{2}+1\right)-2 x \cdot 2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{2 x^{2}+2-4 x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{-2\left(x^{2}-1\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
\)
\(\
y^{\prime \prime}=-2 \cdot \frac{2 x \cdot\left(x^{2}+1\right)^{2}-2\left(x^{2}+1\right) \cdot 2 x \cdot\left(x^{2}-1\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{4}}=-2 \cdot \frac{2 x \cdot\left(x^{2}+1\right)-4 x \cdot\left(x^{2}-1\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}=
\)
\(\
=\frac{-4 x \cdot\left(x^{2}+1-2 x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}=\frac{4 x \cdot\left(x^{2}-3\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}
\)
Найдем решения уравнения \(\
y^{\prime \prime}=0
\) (стационарные точки функции):
\(\
\frac{4 x \cdot\left(x^{2}-3\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}=0 \Leftrightarrow x \cdot\left(x^{2}-3\right)=0 \Leftrightarrow x_{1}=0, x_{2,3}=\pm \sqrt{3}
\)
Эти точки разбивают область определения на четыре интервала. Определим в этих интервалах знак второй производной и составим в таблицу
\(\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\boldsymbol{x}
&
(-\infty ;-\sqrt{3})
&
(-\sqrt{3} ; 0)
&
(0 ; \sqrt{3})
&
(\sqrt{3} ;+\infty)
\\ \hline
y^{\prime \prime}
& -& +& -& +\\ \hline
y& \bigcap& \bigcup & \bigcap &\bigcup \\ \hline
\end{array}
\)
Функция выпукла на промежутках \(\
(-\infty ;-\sqrt{3})
\), \(\
(0 ; \sqrt{3})
\) и вогнута на промежутках \(\
(-\sqrt{3} ; 0)
\), \(\
(\sqrt{3} ;+\infty)
\)