ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция \(\
y=f(x)
\)a называется выпуклой (вогнутой) на некотором интервале \(\
(a ; b)
\) , если на этом интервале график \(\
y=f(x)
\) расположен не выше (не ниже) касательной, проведённой к нему в произвольной точке интервала \(\
(a ; b)
\) .
Условия вогнутости и выпуклости функции на интервале
Если на некотором интервале \(\
(a ; b)
\) вторая производная функции \(\
y=f(x)
\) сохраняет знак «+» для всех точек интервала, то на этом интервале функция вогнута (обозначается \(\
\bigcup
\) ). Если на некотором интервале \(\
(a ; b)
\) вторая производная \(\
f^{\prime \prime}(x)<0
\) для всех точек интервала, то на этом говорят, что функция выпукла (обозначается \(\
\bigcap
\) ).
Для промежутков вогнутости и выпуклости функции \(\
f(x)
\)необходимо:
1.найти область определения функции;
2.найти её вторую производную \(\
f^{\prime \prime}(x)
\) ;
3.найти стационарные точки функции, то есть решить уравнение \(\
f^{\prime \prime}(x)=0
\);
4.определить знак второй производной на каждом из промежутков, на которые стационарные точки разбивают область определения функции;
5.согласно условию вогнутости и выпуклости функции на интервале определить промежутки вогнутости и выпуклости.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание
Найти промежутки вогнутости и выпуклости функции \(\
y=\left(x^
-2\right)^
\)
Решение
Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем вторую производную заданной функции
\(\
y^{\prime}=2\left(x^
-2\right) \cdot 2 x=4 x^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-8 x
\)
\(\
y^{\prime \prime}=12 x^
-8
\)
Приравняем к нулю вторую производную и найдем корни полученного уравнения
\(\
12 x^
-8=0 \Leftrightarrow 3 x^
-2=0 \Leftrightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}
\)
Полученные точки разбивают область определения на три интервала. Определим в этих интервалах знак второй производной и результаты занесем в таблицу
\(\
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mathcal{X}
&
\left(-\infty ;-\sqrt{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}\right)
&
\left(-\sqrt{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} ; \sqrt{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}\right)
&
\left(\sqrt{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} ;+\infty\right)
\\ \hline
y^{\prime \prime}
& +& -& +\\ \hline
y&
\bigcup &
\bigcap
&
\bigcup \\ \hline
\end{array}
\)
Ответ
Функция \(\
y=\left(x^
-2\right)^
\) выпукла на интервале \(\
\left(-\sqrt{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} ; \sqrt{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}\right)
\) и вогнута на промежутках \(\
\left(-\infty ;-\sqrt{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}\right),\left(\sqrt{\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} ;+\infty\right)
\)
ПРИМЕР 2
Задание
Найти промежутки вогнутости и выпуклости функции
\(\
y=\frac{2 x}{x^
+1}
\)
Решение
Область определения функции: \(\
D(y) : x \in(-\infty ;+\infty)
\) . Найдем вторую производную функции
\(\
y^{\prime}=\frac{2\left(x^
+1\right)-2 x \cdot 2 x}{\left(x^
+1\right)^
}=\frac{2 x^
+2-4 x^
}{\left(x^
+1\right)^
}=\frac{-2\left(x^
-1\right)}{\left(x^
+1\right)^
}
\)
\(\
y^{\prime \prime}=-2 \cdot \frac{2 x \cdot\left(x^
+1\right)^
-2\left(x^
+1\right) \cdot 2 x \cdot\left(x^
-1\right)}{\left(x^
+1\right)^{4}}=-2 \cdot \frac{2 x \cdot\left(x^
+1\right)-4 x \cdot\left(x^
-1\right)}{\left(x^
+1\right)^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}=
\)
\(\
=\frac{-4 x \cdot\left(x^
+1-2 x^
+2\right)}{\left(x^
+1\right)^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}=\frac{4 x \cdot\left(x^
-3\right)}{\left(x^
+1\right)^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}
\)
Найдем решения уравнения \(\
y^{\prime \prime}=0
\) (стационарные точки функции):
\(\
\frac{4 x \cdot\left(x^
-3\right)}{\left(x^
+1\right)^
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}=0 \Leftrightarrow x \cdot\left(x^
-3\right)=0 \Leftrightarrow x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=0, x_{2,3}=\pm \sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\)
Эти точки разбивают область определения на четыре интервала. Определим в этих интервалах знак второй производной и составим в таблицу
\(\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\boldsymbol{x}
&
(-\infty ;-\sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
)
&
(-\sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
; 0)
&
(0 ; \sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
)
&
(\sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
;+\infty)
\\ \hline
y^{\prime \prime}
& -& +& -& +\\ \hline
y& \bigcap& \bigcup & \bigcap &\bigcup \\ \hline
\end{array}
\)
Ответ
Функция выпукла на промежутках \(\
(-\infty ;-\sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
)
\), \(\
(0 ; \sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
)
\) и вогнута на промежутках \(\
(-\sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
; 0)
\), \(\
(\sqrt
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
;+\infty)
\)
