Узнать цену работы
Статьи по теме

Промежутки выпуклости и вогнутости функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция \(\ y=f(x) \)a называется выпуклой (вогнутой) на некотором интервале \(\ (a ; b) \) , если на этом интервале график \(\ y=f(x) \) расположен не выше (не ниже) касательной, проведённой к нему в произвольной точке интервала \(\ (a ; b) \) .

Условия вогнутости и выпуклости функции на интервале

Если на некотором интервале \(\ (a ; b) \) вторая производная функции \(\ y=f(x) \) сохраняет знак «+» для всех точек интервала, то на этом интервале функция вогнута (обозначается \(\ \bigcup \) ). Если на некотором интервале \(\ (a ; b) \) вторая производная \(\ f^{\prime \prime}(x)<0 \) для всех точек интервала, то на этом говорят, что функция выпукла (обозначается \(\ \bigcap \) ).

Для промежутков вогнутости и выпуклости функции \(\ f(x) \)необходимо:

1.найти область определения функции;

2.найти её вторую производную \(\ f^{\prime \prime}(x) \) ;

3.найти стационарные точки функции, то есть решить уравнение \(\ f^{\prime \prime}(x)=0 \);

4.определить знак второй производной на каждом из промежутков, на которые стационарные точки разбивают область определения функции;

5.согласно условию вогнутости и выпуклости функции на интервале определить промежутки вогнутости и выпуклости.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти промежутки вогнутости и выпуклости функции \(\ y=\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -2\right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

  • Решение

    Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем вторую производную заданной функции

    \(\ y^{\prime}=2\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -2\right) \cdot 2 x=4 x^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -8 x \)

    \(\ y^{\prime \prime}=12 x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -8 \)

    Приравняем к нулю вторую производную и найдем корни полученного уравнения

    \(\ 12 x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -8=0 \Leftrightarrow 3 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -2=0 \Leftrightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } \)

    Полученные точки разбивают область определения на три интервала. Определим в этих интервалах знак второй производной и результаты занесем в таблицу

    \(\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \mathcal{X} & \left(-\infty ;-\sqrt{\frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }\right) & \left(-\sqrt{\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } ; \sqrt{\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }\right) & \left(\sqrt{\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } ;+\infty\right) \\ \hline y^{\prime \prime} & +& -& +\\ \hline y& \bigcup & \bigcap & \bigcup \\ \hline \end{array} \)

  • Ответ

    Функция \(\ y=\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -2\right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) выпукла на интервале \(\ \left(-\sqrt{\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } ; \sqrt{\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }\right) \) и вогнута на промежутках \(\ \left(-\infty ;-\sqrt{\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }\right),\left(\sqrt{\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } ;+\infty\right) \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Найти промежутки вогнутости и выпуклости функции

    \(\ y=\frac{2 x}{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1} \)

  • Решение

    Область определения функции: \(\ D(y) : x \in(-\infty ;+\infty) \) . Найдем вторую производную функции

    \(\ y^{\prime}=\frac{2\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)-2 x \cdot 2 x}{\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\frac{2 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2-4 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\frac{-2\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1\right)}{\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    \(\ y^{\prime \prime}=-2 \cdot \frac{2 x \cdot\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -2\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right) \cdot 2 x \cdot\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1\right)}{\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)^{4}}=-2 \cdot \frac{2 x \cdot\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)-4 x \cdot\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1\right)}{\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }= \)

    \(\ =\frac{-4 x \cdot\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1-2 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2\right)}{\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }=\frac{4 x \cdot\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -3\right)}{\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } \)

    Найдем решения уравнения \(\ y^{\prime \prime}=0 \) (стационарные точки функции):

    \(\ \frac{4 x \cdot\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -3\right)}{\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }=0 \Leftrightarrow x \cdot\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -3\right)=0 \Leftrightarrow x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =0, x_{2,3}=\pm \sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \)

    Эти точки разбивают область определения на четыре интервала. Определим в этих интервалах знак второй производной и составим в таблицу

    \(\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & (-\infty ;-\sqrt

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ) & (-\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ; 0) & (0 ; \sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ) & (\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ;+\infty) \\ \hline y^{\prime \prime} & -& +& -& +\\ \hline y& \bigcap& \bigcup & \bigcap &\bigcup \\ \hline \end{array} \)

  • Ответ

    Функция выпукла на промежутках \(\ (-\infty ;-\sqrt

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ) \), \(\ (0 ; \sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ) \) и вогнута на промежутках \(\ (-\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ; 0) \), \(\ (\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ;+\infty) \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы