Прямоугольный треугольник
Определение и формулы прямоугольного треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.
Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой.
Для прямоугольного треугольника справедливы следующие утверждения:
Прямоугольный треугольник
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
\(\
A C^{2}+A B^{2}=B C^{2}
\)
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(\
90^{\circ}
\) :
\(\
\angle B+\angle C=90^{\circ}
\)
Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого их катетов:
\(\
A C>B C, A B>B C
\)
Катет, лежащий против угла \(\
30^{\circ}
\) , равен половине гипотенузы.
Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности:
\(\
\mathrm{AM}=\mathrm{R}
\)
Признаки равенства прямоугольных треугольников
По двум катетам: если два катета одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
По стороне и острому углу: Если сторона и прилежащий к ней острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны стороне и прилежащему к ней острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и вычисляется по формуле
\(\
S=\frac{1}{2} a b
\)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна \(\
90^{\circ}
\) значит
\(\
\angle B=90^{\circ}-\angle C=30^{\circ}
\)
Также известно, что катет \(\
\mathrm{AC}
\) (рис. 1), лежащий против угла \(\
\angle B=30^{\circ}
\) равен половине гипотенузы, т.е.
\(\
B C=2 A C=2 \cdot 5=10
\)
\(\
\mathrm{BC}=10 \mathrm{см.}
\)
ПРИМЕР 2
В равнобедренном треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) угол \(\
\mathrm{A}
\) – прямой, \(\
\mathrm{BC=4 см}
\). Найти площадь \(\
\Delta A B C
\)
Запишем для прямоугольного треугольника \(\
\mathrm{ABC}
\) теорему Пифагора:
\(\
B C^{2}=A C^{2}+A B^{2}
\)
Так как этот треугольник равнобедренный, то \(\
A B=A C
\). Тогда
\(\
B C^{2}=4^{2}=2 A C^{2} \Rightarrow 2 A C^{2}=16
\)
откуда \(\
A C=\sqrt{8}
\)
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е.
\(\
S=\frac{1}{2} A B \cdot A C=\frac{1}{2} A C^{2}=4 \mathrm{см}^{2}
\)
\(\
\mathrm{S}=4 \mathrm{см} 2
\)