Узнать цену работы
Статьи по теме

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Математические модели происходящих процессов чаще всего описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому остро стоит проблема нахождения их решения. Будем считать, что искомые функции рассматриваемых дифференциальных уравнений зависят от одной переменной.

Методы решения дифференциальных уравнений

1. К простейшим дифференциальным уравнениям первого порядка относятся уравнения вида \(\ y^{\prime}=f(x) \)

Решение таких уравнений находится с помощью операции интегрирования: \(\ y^{\prime}=f(x) \Rightarrow y(x)=\int f(x) d x \)

ПРИМЕР

  • Задание

    Найти решение дифференциального уравнения \(\ y^{\prime}=\sin x+x \)

  • Решение

    Искомое решение \(\ y(x)=\int(\sin x+x) d x \)

    Согласно свойствам интеграла, интеграл от суммы равен сумме интегралов, то есть получаем \(\ y(x)=\int(\sin x+x) d x=\int \sin x d x+\int x d x \)

    Используя таблицу интегралов, окончательно будем иметь: \(\ y(x)=\int \sin x d x+\int x d x=-\cos x+\frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +C \)

    Ответ \(\ y(x)=-\cos x+\frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +C \)

    2. Дифференциальные уравнения вида \(\ f(x) \cdot y^{\prime}=g(x) \) сводятся к дифференциальным уравнениям \(\ y^{\prime}=f(x) \) делением обеих частей равенства на \(\ f(x) \neq 0 \).

    В результате получаем дифференциальное уравнение \(\ y^{\prime}=\frac{g(x)}{f(x)} \)

    Тогда, согласно выше написанному, его решение \(\ y=\int \frac{g(x)}{f(x)} d x \)

    ПРИМЕР

  • Задание

    Решить дифференциальное уравнение \(\ (\sqrt{x}+1) \cdot y^{\prime}=2 \)

  • Решение

    В данном случае \(\ f(x)=\sqrt{x}+1 \), \(\ g(x)=2 \) . Делим левую и правую части заданного дифференциального уравнения на \(\ f(x) \) ,в результате будем иметь: \(\ y^{\prime}=\frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {\sqrt{x}+1} \)

    Тогда искомое решение \(\ y(x)=\int \frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {\sqrt{x}+1} d x \)

    Полученный интеграл найдем с помощью замены переменной: \(\ y(x)=\int \frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {\sqrt{x}+1} d x\left\|\begin{array}{l}{x=t^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \\ {d x=2 t d t}\end{array}\right\|=\int \frac{2 t d t}{\sqrt{t^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }+1}=2 \int \frac{t d t}{t+1}=2 \int \frac{(t+1)-1}{t+1} d t=2 \int\left(1-\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {t+1}\right) d t=2 \int d t-2 \int \frac{d t}{t+1}=2 t-2 \int \frac{d(t+1)}{t+1}=2 t-2 \ln |t+1|+C=2 \sqrt{x}-2 \ln |\sqrt{x}+1|+C \)

    Ответ \(\ y(x)=2 \sqrt{x}-2 \ln |\sqrt{x}+1|+C \)

    3. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида \(\ f_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (x) g_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (y) d y=f_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (x) g_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (y) d x \) или \(\ f_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (x) g_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (y) y^{\prime}(x)=f_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (x) g_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (y) \)

    Например: \(\ (x+1) y^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d x=x y d y \)

    Дифференциальное уравнение \(\ g(y) d y=f(x) d x \) или \(\ g(y) \cdot y^{\prime}=f(x) \) называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

    Например: \(\ \frac{d y}{y}=\frac{(x+1) d x}{x} \)

    Общее решение такого уравнения ищется с помощью интегрирования обеих частей равенства \(\ g(y) d y=f(x) d x \) : \(\ \int g(y) d y=\int f(x) d x \)

    Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными сводятся к дифференциальным уравнениям с разделенными переменными делением на произведение\(\ f_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (x) g_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (y) \) : \(\ f_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (x) g_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (y) d y=f_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (x) g_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (y) d x \Rightarrow \frac{g_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (y) d y}{g_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (y)}=\frac{f_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (x) d x}{f_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (x)} \)

    ЗАМЕЧАНИЕ

    Такое преобразование не приведет к появлению особых решений, если \(\ f_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (x) \neq 0 \), \(\ g_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (y) \neq 0 \) одновременно.

    ПРИМЕР

  • Задание

    Найти решение дифференциального уравнения \(\ (x+1) d y=y d x \)

  • Решение

    Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим их: \(\ (x+1) d y=y d x \Rightarrow \frac{d y}{y}=\frac{d x}{x+1} \)

    Общий интеграл уравнения \(\ \int \frac{d y}{y}=\int \frac{d x}{x+1} \)

    Каждый из записанных интегралов найдем по отдельности: \(\ \int \frac{d y}{y}=\ln |y|+C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \)

    Тогда имеем, что \(\ \ln |y|=\ln |x+1|+\ln C \)

    В данном случае в качестве константы интегрирования рациональнее (для дальнейших преобразований) взять ln C вместо привычного C.

    Итак, далее используя свойства логарифмов, преобразуем получение решение следующим образом: \(\ \ln C \)

    Ответ: \(\ \ln |y|=\ln C|x+1| \Rightarrow y=C(x+1) \)

    4. Дифференциальные уравнения вида \(\ y(x)=C(x+1) \) сводятся к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены \(\ y^{\prime}=f(a x+b y) \), \(\ a \), \(\ b \in R \)

    ПРИМЕР

  • Задание

    Решить дифференциальное уравнение \(\ a x+b y=t \)

  • Решение

    Сведем заданное дифференциальное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, для этого сделаем замену \(\ y^{\prime}=\sqrt{2 x+3 y} \)

    тогда \(\ 2 x+3 y=t \)

    или \(\ (2 x+3 y)^{\prime}=t^{\prime} \)

    Отсюда \(\ 2 \cdot 1+3 y^{\prime}=t^{\prime} \)

    Исходное дифференциальное уравнение принимает вид: \(\ y^{\prime}=\frac{t^{\prime}-2}

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \)

    Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, разделим их: \(\ \frac{t^{\prime}-2}

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =\sqrt{t} \)

    Общий интеграл уравнения: \(\ t^{\prime}-2=3 \sqrt{t} \Rightarrow t^{\prime}=3 \sqrt{t}+2 \Rightarrow \frac{d t}{d x}=3 \sqrt{t}+2 \Rightarrow \frac{d t}{3 \sqrt{t}+2}=d x \)

    Найдем каждый из записанных интегралов отдельно: \(\ \int \frac{d t}{3 \sqrt{t}+2}=\int d x \)

    \(\ \int \frac{d t}{3 \sqrt{t}+2}=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \int \frac{d t}{\sqrt{t}+\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }\left\|\begin{array}{l}{t=z^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \\ {d t=2 z d z}\end{array}\right\|=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \int \frac{2 z d z}{z+\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }=\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \int \frac{\left(z+\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right)-\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{z+\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } d z= \frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \int\left(1-\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {3\left(z+\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right)}\right) d z=\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \int d z-\frac{4}{9} \int \frac{d z}{z+\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }=\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    z-\frac{4}{9} \ln \left|z+\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right|+C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \sqrt{t}-\frac{4}{9} \ln \left|\sqrt{t}+\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right|+C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \)

    Отсюда \(\ \int d x=x+C_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    После обратной замены, окончательно имеем, что \(\ \frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \sqrt{t}-\frac{4}{9} \ln \left|\sqrt{t}+\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right|=x+C \)

    Ответ \(\ \frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \sqrt{2 x+3 y}-\frac{4}{9} \ln \left|\sqrt{2 x+3 y}+\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right|=x+C \)

    5. Однородным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение \(\ \frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \sqrt{2 x+3 y}-\frac{4}{9} \ln \left|\sqrt{2 x+3 y}+\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right|=x+C \): удовлетворяющее условию \(\ y^{\prime}=f(x ; y) \)

    Однородные дифференциальные уравнения можно свисти к уравнению вида \(\ f(\lambda x ; \lambda y)=\lambda^{n} f(x ; y) \) или \(\ y^{\prime}=f\left(\frac{y}{x}\right) \) ,которое с помощью замены \(\ y^{\prime}=f\left(\frac{x}{y}\right) \frac{y(x)}{x}=z(x) \Rightarrow y=x z \Rightarrow y^{\prime}=z+x z^{\prime} \) сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

    ПРИМЕР

  • Задание

    Решить дифференциальное уравнение \(\ \frac{x}{y}=z \)

  • Решение

    Заданное уравнение является однородным. Почленно разделим второе слагаемое в левой части заданного уравнения: \(\ y^{\prime}+\frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{x y}=0 \)

    Делаем замену: \(\ y^{\prime}+\frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{x y}+\frac{y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{x y}=0 \Rightarrow y^{\prime}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=0 \) и \(\ \frac{y}{x}=z \Rightarrow y=x z \Rightarrow y^{\prime}=z+x z^{\prime} \)

    Заданное уравнение принимает вид: \(\ \frac{x}{y}=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {z} z+x z^{\prime}+z+\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {z}=0 \)

    Пришли к уравнению с разделяющимися переменными, разделим их (для этого домножаем обе части равенства на выражение \(\ x z^{\prime}+\frac{2 z^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1}{z}=0 \Rightarrow x z^{\prime}=-\frac{2 z^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1}{z} \Rightarrow x \frac{d z}{d x}=-\frac{2 z^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1}{z} \) : \(\ \frac{z d x}{x\left(2 z^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)} \)

    Общий интеграл уравнения: \(\ \frac{z d z}{2 z^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1}=-\frac{d x}{x} \)

    Найдем каждый из интегралов отдельно: \(\ \int \frac{z d z}{2 z^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1}=-\int \frac{d x}{x} \int \frac{z d z}{2 z^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1}\left\|\begin{array}{l}{2 z^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1=t} \\ {4 z d z=d t} \\ {z d z=\frac{d t}{4}}\end{array}\right\|=\int \frac{\frac{d t}{4}}{t}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} \int \frac{d t}{t}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} \ln |t|+C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} \ln \left(2 z^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)+C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \)

    То есть получаем: \(\ \int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Преобразуем полученное выражение следующим образом: \(\ \frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} \ln \left(2 z^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)=-\ln |x|+\ln |C| \frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} \ln \left(2 z^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)=\ln \left|\frac{C}{x}\right| \) или \(\ \ln \left(2 z^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)=4 \ln \left|\frac{C}{x}\right| \)

    Потенцируя левую и правую часть последнего равенства, будем иметь: \(\ \ln \left(2 z^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)=\ln \left(\frac{C}{x}\right)^{4} \)

    Сделаем обратную замену \(\ 2 z^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1=\left(\frac{C}{x}\right)^{4} \) и введем новое обозначение \(\ z=\frac{y}{x} \) \(\ C^{4}=\tilde{C} \)

    Ответ \(\ 2 \cdot\left(\frac{y}{x}\right)^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1=\frac{\tilde{C}}{x^{4}}, \frac{2 y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\frac{\tilde{C}}{x^{4}} \Rightarrow x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)=\tilde{C} \)

    6. Дифференциальные уравнения \(\ x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 y^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)=\tilde{C} \) , где коэффициенты \(\ y^{\prime}=\frac{a_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    x+b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    y+c_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    x+b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y+c_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \) – некоторые действительные числа.

    Если \(\ a_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \), \(\ a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \), \(\ b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \), \(\ b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \), \(\ c_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \), \(\ c_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) , то данное уравнение является однородным и методика получения его решения описана выше.

    Рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел\(\ \mathrm{c} 1 \) или \(\ \mathrm{c} 2 \) отлично от нуля. Выполним заменой (введем новые переменные) \(\ c_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =c_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0 \)

    Здесь \(\ h \), \(\ k \) – некоторые числа. При этом \(\ \left\{\begin{array}{l}{x=x_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +h} \\ {y=y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +k}\end{array}\right. \)

    Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, будем иметь: \(\ y^{\prime}=\frac{d y}{d x}=\frac{d y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{d x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }=y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{\prime} \) или \(\ \frac{d y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{d x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }=\frac{a_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left(x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +h\right)+b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left(y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +k\right)+c_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \left(x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +h\right)+b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \left(y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +k\right)+c_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    Величины \(\ h \), \(\ k \) будем выбирать так, чтобы свободные коэффициенты в числителе и знаменателе последнего дифференциального уравнения равнялись нулю. То есть \(\ h \) и \(\ k \) найдем из системы< \(\ \frac{d y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{d x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }=\frac{a_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +a_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    h+b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    k+c_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    x+b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y+a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    h+b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    k+c_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    С учетом этого уравнение \(\ \left\{\begin{array}{l}{a_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    h+b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    k+c_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =0} \\ {a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    h+b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    k+c_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0}\end{array}\right. \) сводится к дифференциальному уравнению \(\ \frac{d y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{d x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }=\frac{a_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +a_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    h+b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    k+c_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    x+b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y+a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    h+b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    k+c_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \) которое является однородным.

    ЗАМЕЧАНИЕ

    Описанный способ решения применим и к дифференциальным уравнениям вида \(\ \frac{d y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{d x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }=\frac{a_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    x+b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    ПРИМЕР

  • Задание

    Решить дифференциальное уравнение \(\ y^{\prime}=f\left(\frac{a_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    x+b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    y+c_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    x+b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    y+c_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }\right) \)

  • Решениеd

    Сделаем замену \(\ y^{\prime}=\frac{x+3 y+4}{3 x-6} \), \(\ y=y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +k \)

    Тогда с учетом того, что \(\ y^{\prime}=y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{\prime} \) , исходное дифференциальное уравнение принимает вид: \(\ y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{\prime}=\frac{x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +h+3\left(y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +k\right)+4}{3\left(x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +h\right)-6} \)

    После упрощения, получим: \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{\prime}=\frac{x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +3 y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +h+3 k+4}{3 x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +3 h-6} \)

    Числа \(\ h \) и \(\ k \) являются решениями системы \(\ \left\{\begin{array}{l}{h+3 k+4=0} \\ {3 h-6=0}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{h+3 k+4=0} \\ {h=2}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{k=-2} \\ {h=2}\end{array}\right.\right.\right. \)

    В этом случае последнее дифференциальное уравнение запишется в виде: \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{\prime}=\frac{x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +3 y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{3 x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } \)

    Перепишем последнее равенство в виде: \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{\prime}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +\frac{y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } \) (1)

    Полученное уравнение является однородным дифференциальным уравнением (см. тип 5). Для его решения сделаем замену \(\ \frac{y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left(x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right)}{x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }=z\left(x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) \Rightarrow y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    z \Rightarrow y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{\prime}=z+x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot z^{\prime} \)

    Тогда уравнение (1) \(\ z+x_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    z^{\prime}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +z \)

    или \(\ x_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    z^{\prime}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \)

    Получили уравнение с разделяющимися переменными (уравнение типа 3), разделим их: \(\ x_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot \frac{d z}{d x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \Rightarrow d z=\frac{d x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{3 x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } \)

    Общий интеграл уравнения: \(\ \int d z=\int \frac{d x_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{3 x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } \)

    отсюда \(\ z=\frac{\ln \left|x_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right|}
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C \) (2)

    Делаем обратную замену \(\ z=\frac{y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } \)

    Тогда решение (2) принимает вид: \(\ \frac{y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }=\frac{\ln \left|x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right|}
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C \)

    Переходим к исходным переменным \(\ x=x_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +2 \Rightarrow x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =x-2 y=y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -2 \Rightarrow y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =y+2 \)

    В результате получаем решение исходного дифференциального уравнения \(\ \frac{y+2}{x-2}=\frac{\ln |x-2|}

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C \)

    Ответ \(\ \frac{y+2}{x-2}=\frac{\ln |x-2|}

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы