Узнать цену работы
Статьи по теме

Сходимость несобственных интегралов

Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода

В некоторых задачах достаточно не рассчитать интеграл, а выяснить, сходится он или нет.

Теорема

Теорема (знак сравнения). Если на интервале \(\ [a ;+\infty) \) непрерывные функции \(\ f(x) \) и \(\ g(x) \) удовлетворяют неравенству \(\ 0 \leq f(x) \leq g(x) \) , то сходимость несобственного интеграла первого рода \(\ \int_{a}^{\infty} g(x) d x \) влечет сходимость интеграла \(\ \int_{a}^{\infty} f(x) d x \) и их расходимость интеграла \(\ \int_{a}^{\infty} f(x) d x \) также подразумевает расхождение интеграла \(\ \int_{a}^{\infty} g(x) d x \)

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Чтобы исследовать сходимость несобственного интеграла первого рода

    \(\ \int_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{\infty} \frac{d x}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \left(1+3^{x}\right)} \)

  • Решение.

    \(\ x \in[1 ;+\infty) \) т. е. Для \(\ x \geq 1 \) имеет место неравенство:

    \(\ \frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \left(1+3^{x}\right)}<\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    А интеграл \(\ \int_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{+\infty} \frac{d x}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=1 \) - сходится, что означает, что данный интеграл, согласно критерию сравнения, также сходится.

  • Ответ

    Интеграл сходится.

    Теорема

    Теорема (сравнительный симптом в лимитированной форме). Если для функций \(\ f(x)>0 \) и \(\ g(x)>0 \) существует предел \(\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=k \) , где \(\ k \) - конечное ненулевое число, то интегралы \(\ \int_{a}^{\infty} f(x) d x \) и \(\ \int_{a}^{\infty} g(x) d x \) имеют одинаковую природу сходимости, т. е. Они сходятся или расходятся одновременно ,

    Комментарий. В качестве функций \(\ g(x) \) для сравнения часто берутся силовые функции вида \(\ g(x)=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {(x-a)^{p}} \) , несобственный интеграл первого рода \(\ \int_{a}^{\infty} g(x) d x \) сходится, если \(\ p>1 \), и расходится в случае, когда \(\ p \leq 1 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Чтобы исследовать сходимость интеграла

    \(\ \int_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1}} \)

  • Решение.

    Применим функцию сравнения в предельной форме. Для этого сравните функцию подынтегрального выражения \(\ f(x)=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {\sqrt[3]{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1}} \) с функцией \(\ g(x)=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x^{\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }} \) (найдите предел их отношения):

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {\sqrt[3]{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1}}}{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {\sqrt[3]{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }}{\sqrt[3]{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1}}=1 \neq 0 \)

    Поскольку мы получили конечное ненулевое значение, это означает, что интегралы \(\ \int_{a}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }} \) и \(\ \int_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1}} \) имеют одинаковую сходимость. И так как для первого \(\ \int_{a}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }} \) значения \(\ p=\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    <1 \) интеграл \(\ \int_{a}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }} \) расходится, что означает, что данный интеграл \(\ \int_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1}} \)

  • Ответ

    Интеграл расходится.

    Признаки сходимости несобственных интегралов второго рода

    Теорема

    Теорема (знак сравнения). Пусть функции \(\ f(x) \) и \(\ g(x) \) непрерывны на отрезке \(\ [a ; b) \) , а в правом конце указанного интервала, т. е. В точке \(\ x=b \), имеют разрыв второго рода. Пусть для указанных функций справедливо неравенство \(\ 0 \leq f(x) \leq g(x) \) . Тогда сходимость интеграла \(\ \int_{a}^{b} f(x) d x \) следует из сходимости интеграла \(\ \int_{a}^{b} g(x) d x \) , а расходимость интеграла \(\ \int_{a}^{b} g(x) d x \) следует из расходимости интеграла \(\ \int_{a}^{b} f(x) d x \)

    Теорема

    Теорема (сравнительный симптом в лимитированной форме). Если для функций \(\ f(x) \) и \(\ g(x) \) , непрерывных на отрезке \(\ [a ; b) \) , имеющих разрыв в точке \(\ x=b \), предел их соотношения \(\ \lim _{x \rightarrow b} \frac{f(x)}{g(x)}=k \) (т. е. \(\ K \) - конечное ненулевое число) , то несобственные интегралы второго рода \(\ \int_{a}^{b} f(x) d x \) и \(\ \int_{a}^{b} g(x) d x \) имеют одинаковую природу сходимости (т. е. сходятся или расходятся в одно и то же время).

    ПРИМЕР 3

  • Задача

    Чтобы исследовать интеграл по сходимости

    \(\ \int_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \frac{d x}{\sin x} \)

  • Решение.

    Подынтегральная функция \(\ f(x)=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {\sin x} \) имеет разрыв второго рода в точке \(\ x=0 \). Рассмотрим функцию \(\ g(x)=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x} \) . Найдите предел отношения этих функций:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {\sin x}}{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x}=1 \neq 0 \)

    Следовательно, несобственные интегралы \(\ \int_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \frac{d x}{\sin x} \) и \(\ \int_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \frac{d x}{x} \) имеют одинаковую сходимость.

    Исследуем интеграл \(\ \int_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \frac{d x}{x} \) для сходимости:

    \(\ \int_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \frac{d x}{x}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{0+\varepsilon}^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \frac{d x}{x}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \ln \left.x\right|_{\varepsilon} ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \ln \varepsilon=\infty \)

    т.е. интеграл \(\ \int_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \frac{d x}{x} \) расходится, и, следовательно, начальный интеграл \(\ \int_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \frac{d x}{\sin x} \) расходится.

  • Ответ

    Интеграл расходится.

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы