Сходимость несобственных интегралов
Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода
В некоторых задачах достаточно не рассчитать интеграл, а выяснить, сходится он или нет.
Теорема
Теорема (знак сравнения). Если на интервале \(\ [a ;+\infty) \) непрерывные функции \(\ f(x) \) и \(\ g(x) \) удовлетворяют неравенству \(\ 0 \leq f(x) \leq g(x) \) , то сходимость несобственного интеграла первого рода \(\ \int_{a}^{\infty} g(x) d x \) влечет сходимость интеграла \(\ \int_{a}^{\infty} f(x) d x \) и их расходимость интеграла \(\ \int_{a}^{\infty} f(x) d x \) также подразумевает расхождение интеграла \(\ \int_{a}^{\infty} g(x) d x \)
ПРИМЕР 1
Чтобы исследовать сходимость несобственного интеграла первого рода
\(\
\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}\left(1+3^{x}\right)}
\)
\(\
x \in[1 ;+\infty)
\) т. е. Для \(\
x \geq 1
\) имеет место неравенство:
\(\
\frac{1}{x^{2}\left(1+3^{x}\right)}<\frac{1}{x^{2}}
\)
А интеграл \(\
\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}}=1
\) - сходится, что означает, что данный интеграл, согласно критерию сравнения, также сходится.
Интеграл сходится.
Теорема
Теорема (сравнительный симптом в лимитированной форме). Если для функций \(\
f(x)>0
\) и \(\
g(x)>0
\) существует предел \(\
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=k
\) , где \(\
k
\) - конечное ненулевое число, то интегралы \(\
\int_{a}^{\infty} f(x) d x
\) и \(\
\int_{a}^{\infty} g(x) d x
\) имеют одинаковую природу сходимости, т. е. Они сходятся или расходятся одновременно ,
Комментарий. В качестве функций \(\
g(x)
\) для сравнения часто берутся силовые функции вида \(\
g(x)=\frac{1}{(x-a)^{p}}
\) , несобственный интеграл первого рода \(\
\int_{a}^{\infty} g(x) d x
\) сходится, если \(\
p>1
\), и расходится в случае, когда \(\
p \leq 1
\)
ПРИМЕР 2
Чтобы исследовать сходимость интеграла
\(\
\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2}-1}}
\)
Применим функцию сравнения в предельной форме. Для этого сравните функцию подынтегрального выражения \(\
f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-1}}
\) с функцией \(\
g(x)=\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}
\) (найдите предел их отношения):
\(\
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-1}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}-1}}=1 \neq 0
\)
Поскольку мы получили конечное ненулевое значение, это означает, что интегралы \(\
\int_{a}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2}}}
\) и \(\
\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2}-1}}
\) имеют одинаковую сходимость. И так как для первого \(\
\int_{a}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2}}}
\) значения \(\
p=\frac{2}{3}<1
\) интеграл \(\
\int_{a}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2}}}
\) расходится, что означает, что данный интеграл \(\
\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2}-1}}
\)
Интеграл расходится.
Признаки сходимости несобственных интегралов второго рода
Теорема
Теорема (знак сравнения). Пусть функции \(\
f(x)
\) и \(\
g(x)
\) непрерывны на отрезке \(\
[a ; b)
\) , а в правом конце указанного интервала, т. е. В точке \(\
x=b
\), имеют разрыв второго рода. Пусть для указанных функций справедливо неравенство \(\
0 \leq f(x) \leq g(x)
\) . Тогда сходимость интеграла \(\
\int_{a}^{b} f(x) d x
\) следует из сходимости интеграла \(\
\int_{a}^{b} g(x) d x
\) , а расходимость интеграла \(\
\int_{a}^{b} g(x) d x
\) следует из расходимости интеграла \(\
\int_{a}^{b} f(x) d x
\)
Теорема
Теорема (сравнительный симптом в лимитированной форме). Если для функций \(\
f(x)
\) и \(\
g(x)
\) , непрерывных на отрезке \(\
[a ; b)
\) , имеющих разрыв в точке \(\
x=b
\), предел их соотношения \(\
\lim _{x \rightarrow b} \frac{f(x)}{g(x)}=k
\) (т. е. \(\
K
\) - конечное ненулевое число) , то несобственные интегралы второго рода \(\
\int_{a}^{b} f(x) d x
\) и \(\
\int_{a}^{b} g(x) d x
\) имеют одинаковую природу сходимости (т. е. сходятся или расходятся в одно и то же время).
ПРИМЕР 3
Чтобы исследовать интеграл по сходимости
\(\
\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sin x}
\)
Подынтегральная функция \(\
f(x)=\frac{1}{\sin x}
\) имеет разрыв второго рода в точке \(\
x=0
\). Рассмотрим функцию \(\
g(x)=\frac{1}{x}
\) . Найдите предел отношения этих функций:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{\sin x}}{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x}=1 \neq 0
\)
Следовательно, несобственные интегралы \(\
\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sin x}
\) и \(\
\int_{0}^{1} \frac{d x}{x}
\) имеют одинаковую сходимость.
Исследуем интеграл \(\
\int_{0}^{1} \frac{d x}{x}
\) для сходимости:
\(\
\int_{0}^{1} \frac{d x}{x}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{0+\varepsilon}^{1} \frac{d x}{x}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \ln \left.x\right|_{\varepsilon} ^{1}=-\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \ln \varepsilon=\infty
\)
т.е. интеграл \(\
\int_{0}^{1} \frac{d x}{x}
\) расходится, и, следовательно, начальный интеграл \(\
\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sin x}
\) расходится.
Интеграл расходится.