Синус 45 градусов
Значение синуса 45 градусов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Синус \(\
45^{\circ}
\) равен \(\
\frac{\sqrt{2}}{2}
\) , то есть \(\
\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\) . В радианах \(\
45^{\circ}
\) будет \(\
\frac{\pi}{4}
\) , тогда можно записать еще так
\(\
\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\)
На единичной тригонометрической окружности синус \(\
45^{\circ}
\) или \(\
\frac{\pi}{4}
\) изображается следующим образом (рис. 1). Рис. 1
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Преобразовать в сумму выражение \(\
\sin \left(45^{\circ}+x\right)
\)
Воспользуемся формулой синуса суммы углов
\(\
\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta
\)
получим
\(\
\sin \left(45^{\circ}+x\right)=\sin 45^{\circ} \cdot \cos x+\cos 45^{\circ} \cdot \sin x
\)
Учитывая, что \(\
\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\) и \(\
\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\) имеем
\(\
\sin \left(45^{\circ}+x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x)
\)
\(\
\sin \left(45^{\circ}+x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x)
\)
ПРИМЕР 2
Найти площадь треугольника, две стороны которого равны соответственно \(\
3 \sqrt{2}
\) см и 4 см, а угол между ними \(\
\gamma=45^{\circ}
\)
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, то есть, справедлива формула
\(\
S=a \cdot b \cdot \sin \gamma
\)
По условию \(\
a=3 \sqrt{2}
\), \(\
b=4
\) а \(\
\gamma=45^{\circ}
\) . Тогда подставляя все в формулу для площади получим \(\
S=3 \sqrt{2} \cdot 4 \cdot \sin 45^{\circ}=3 \sqrt{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12 см^{2}
\)