Синус двойного угла
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Формула синуса двойного угла имеет вид
\(\
\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha
\)
Эта формула легко получается из формулы синусоиды.
\(\
\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta
\)
вставляя его \(\
\beta=\alpha
\)
В самом деле
\(\
\sin 2 \alpha=\sin (\alpha+\alpha)=\sin \alpha \cdot \cos \alpha+\cos \alpha \cdot \sin \alpha=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha
\)
Синусоидальный угол может все еще выражаться через касательную и кокасательную:
\(\
\sin 2 \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha}
\), \(\
\sin 2 \alpha=\frac{2 \operatorname{ctg} \alpha}{1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha}
\), \(\
\sin 2 \alpha=\frac{2}{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha}
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Упростите выражение:
\(\
\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \alpha
\)
Выделите первые два фактора через синус двойного угла:
\(\
2 \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}=\sin \left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{2}
\)
Тогда исходное выражение принимает вид
\(\
\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \alpha=\frac{\sin \alpha}{2} \cdot \cos \alpha=\frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{2}
\)
Умножьте числитель и знаменатель наклейки на 2:
\(\
\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \alpha=\frac{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{2 \cdot 2}
\)
давайте применим к числителю формулу синуса двойного угла \(\
\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha
\) и, наконец, получим
\(\
\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{4}
\)
\(\
\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{4}
\)
ПРИМЕР 2
Найти значение выражения
\(\
\frac{\operatorname{tg} 22^{\circ} 30^{\prime}}{1+\operatorname{tg}^{2} 22^{\circ} 30^{\prime}}
\)
Мы используем формулу с двойным углом синуса \(\
\sin 2 \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha}
\) , получаем
\(\
\frac{\operatorname{tg} 22^{\circ} 30^{\prime}}{1+\operatorname{tg}^{2} 22^{\circ} 30^{\prime}}=\sin \left(2 \cdot 22^{\circ} 30^{\prime}\right)=\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\)
\(\
\frac{\operatorname{tg} 22^{\circ} 30^{\prime}}{1+\operatorname{tg}^{2} 22^{\circ} 30^{\prime}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\)
ПРИМЕР 3
Упростить выражение
\(\
\frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}
\)
Запишем в числителе и знаменателе синусов двойного угла, используя формулу \(\
\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha
\) , получим:
\(\
\frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{(2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha)^{2}-4 \sin ^{2} \alpha}{(2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha)^{2}+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{4 \sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{4 \sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}
\)
Мы выставляем скобки в числителе \(\
4 \sin ^{2} \alpha
\) , а в знаменателе - 4:
\(\
\frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{4 \sin ^{2} \alpha\left(\cos ^{2} \alpha-1\right)}{4\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha-1\right)}=\frac{\sin ^{2} \alpha\left(\cos ^{2} \alpha-1\right)}{\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha-1\right)}
\)
В полученном выражении мы используем основное тригонометрическое тождество и представляем единицу как \(\
1=\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha
\), получаем
\(\
\frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{\sin ^{2} \alpha\left(\cos ^{2} \alpha-\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)\right)}{\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha-\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)\right)}==\frac{\sin ^{2} \alpha\left(\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha\right)}{\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha\right)}=\frac{\sin ^{2} \alpha\left(-\sin ^{2} \alpha\right)}{\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha\right)}
\)
Мы помещаем знаменатель\(\
\cos ^{2} \alpha
\) для скобок
\(\
\frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{\sin ^{2} \alpha\left(-\sin ^{2} \alpha\right)}{\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha\right)}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{\cos ^{2} \alpha\left(\sin ^{2} \alpha-1\right)}
\)
Снова в числителе записываем единицу, используя основное тригонометрическое тождество
\(\
\frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{\cos ^{2} \alpha\left(\sin ^{2} \alpha-1\right)}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{\cos ^{2} \alpha\left(\sin ^{2} \alpha-\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)\right)}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{\cos ^{2} \alpha\left(\sin ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha\right)}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{\cos ^{2} \alpha\left(-\cos ^{2} \alpha\right)}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{-\cos ^{4} \alpha}=\operatorname{tg}^{4} \alpha
\)
\(\
\frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\operatorname{tg}^{4} \alpha
\)