Узнать цену работы
Статьи по теме

Синус двойного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Формула синуса двойного угла имеет вид \(\ \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \)

Эта формула легко получается из формулы синусоиды. \(\ \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta \) вставляя его \(\ \beta=\alpha \)

В самом деле \(\ \sin 2 \alpha=\sin (\alpha+\alpha)=\sin \alpha \cdot \cos \alpha+\cos \alpha \cdot \sin \alpha=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \)

Синусоидальный угол может все еще выражаться через касательную и кокасательную: \(\ \sin 2 \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha} \), \(\ \sin 2 \alpha=\frac{2 \operatorname{ctg} \alpha}{1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha} \), \(\ \sin 2 \alpha=\frac{2}{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha} \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Упростите выражение: \(\ \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \alpha \)

  • Решение

    Выделите первые два фактора через синус двойного угла: \(\ 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}=\sin \left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{2} \)

    Тогда исходное выражение принимает вид \(\ \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \alpha=\frac{\sin \alpha}{2} \cdot \cos \alpha=\frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{2} \)

    Умножьте числитель и знаменатель наклейки на 2: \(\ \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \alpha=\frac{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{2 \cdot 2} \) давайте применим к числителю формулу синуса двойного угла \(\ \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \) и, наконец, получим \(\ \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{4} \)

  • Ответ

    \(\ \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{4} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Найти значение выражения \(\ \frac{\operatorname{tg} 22^{\circ} 30^{\prime}}{1+\operatorname{tg}^{2} 22^{\circ} 30^{\prime}} \)

  • Решение

    Мы используем формулу с двойным углом синуса \(\ \sin 2 \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha} \) , получаем \(\ \frac{\operatorname{tg} 22^{\circ} 30^{\prime}}{1+\operatorname{tg}^{2} 22^{\circ} 30^{\prime}}=\sin \left(2 \cdot 22^{\circ} 30^{\prime}\right)=\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} \)

  • Ответ

    \(\ \frac{\operatorname{tg} 22^{\circ} 30^{\prime}}{1+\operatorname{tg}^{2} 22^{\circ} 30^{\prime}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \)

    ПРИМЕР 3

  • Задание

    Упростить выражение \(\ \frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4} \)

  • Решение

    Запишем в числителе и знаменателе синусов двойного угла, используя формулу \(\ \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \) , получим: \(\ \frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{(2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha)^{2}-4 \sin ^{2} \alpha}{(2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha)^{2}+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{4 \sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{4 \sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4} \)

    Мы выставляем скобки в числителе \(\ 4 \sin ^{2} \alpha \) , а в знаменателе - 4: \(\ \frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{4 \sin ^{2} \alpha\left(\cos ^{2} \alpha-1\right)}{4\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha-1\right)}=\frac{\sin ^{2} \alpha\left(\cos ^{2} \alpha-1\right)}{\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha-1\right)} \)

    В полученном выражении мы используем основное тригонометрическое тождество и представляем единицу как \(\ 1=\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha \), получаем \(\ \frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{\sin ^{2} \alpha\left(\cos ^{2} \alpha-\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)\right)}{\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha-\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)\right)}==\frac{\sin ^{2} \alpha\left(\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha\right)}{\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha\right)}=\frac{\sin ^{2} \alpha\left(-\sin ^{2} \alpha\right)}{\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha\right)} \)

    Мы помещаем знаменатель\(\ \cos ^{2} \alpha \) для скобок \(\ \frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{\sin ^{2} \alpha\left(-\sin ^{2} \alpha\right)}{\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha\right)}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{\cos ^{2} \alpha\left(\sin ^{2} \alpha-1\right)} \)

    Снова в числителе записываем единицу, используя основное тригонометрическое тождество

    \(\ \frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{\cos ^{2} \alpha\left(\sin ^{2} \alpha-1\right)}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{\cos ^{2} \alpha\left(\sin ^{2} \alpha-\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)\right)}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{\cos ^{2} \alpha\left(\sin ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha\right)}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{\cos ^{2} \alpha\left(-\cos ^{2} \alpha\right)}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{-\cos ^{4} \alpha}=\operatorname{tg}^{4} \alpha \)

  • Ответ

    \(\ \frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\operatorname{tg}^{4} \alpha \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ