Синус угла
Определение и формула синуса
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Синус угла \(\
\alpha
\) острого угла правого треугольника - это отношение ноги, противоположной углу гипотенузы. Синус угла \(\
\alpha
\) обозначается \(\
\sin \alpha
\)
Рассмотрим произвольный правый треугольник \(\
\Delta A B C
\) , углы \(\
\boldsymbol{\alpha}
\) и \(\
\beta
\) - остры. (Рисунок 1). Напишем тот факт, что синусы острых углов \(\
\alpha
\) и \(\
\beta
\) равны. В рассматриваемом треугольнике \(\
\mathrm{AB}
\) или \(\
\mathrm{с}
\) -гипотенуза, а напротив угла \(\
\alpha
\) лежит катет \(\
\mathrm{BC}
\) или \(\
a
\), тогда\(\
\sin \alpha=\frac{a}{c} \quad \sin \alpha=\frac{B C}{A B}
\)
Рис. 1 Против острого угла \(\
\beta
\) лежит катет \(\
\mathrm{AC}
\) или \(\
b
\), тогда синус угла \(\
\beta
\) равен
\(\
\sin \beta=\frac{b}{c} \quad \sin \beta=\frac{A C}{A B}
\)
Рис. 2
Рассмотрим тригонометрический круг, то есть круг радиуса один, с центром в начале координат. Выберем произвольный угол \(\
\alpha
\) (рис. 2), которому на единичной окружности соответствует точка \(\
A\left(x_{0}, y_{0}\right)
\) . Опустим перпендикуляр \(\
\mathrm{AB}
\) из точки \(\
A
\) на ось \(\
\mathrm{Ox}
\). Тогда \(\
\sin \alpha=\frac{A B}{A O}
\) ,учитывая, что радиус окружности \(\
\mathrm{AO}=1
\), то \(\
\sin \alpha=A B=y_{0}
\) , то есть синусом угла \(\
\alpha
\) есть ордината точки \(\
\mathrm{A}
\)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Катеты прямоугольного треугольника равны соответственно 5 и \(\
2 \sqrt{6}
\) см. Найти синусы острых углов треугольника.
Сделаем рисунок (рис. 3). Обозначим \(\
a=5
\) и \(\
b=2 \sqrt{6}
\) .По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы \(\
c^{2}=a^{2}+b^{2} \Rightarrow c^{2}=5^{2}+(2 \sqrt{6})^{2} \Rightarrow c^{2}=25+4 \cdot 6 \Rightarrow c^{2}=49 \Rightarrow c=7(\mathrm{см})
\)
По определению, синус представляет собой отношение противоположной стороны к гипотенузе, затем Рис. 3 \(\
\sin \alpha=\frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha=\frac{5}{7}
\)
\(\
\sin \beta=\frac{b}{c} \Rightarrow \sin \beta=\frac{2 \sqrt{6}}{7}
\)
ПРИМЕР 2
Какие из точек на единичной окружности (рис. 4) удовлетворяют условию \(\
\sin \alpha=\frac{1}{2}
\)
Рис. 4
Синус угла на окружности является ординатой конца радиуса оси с положительным направлением оси \(\
\mathrm{O} x
\) заданный угол. Найдем на окружности точки, ординаты которых равны \(\
\frac{1}{2}
\) Это точки \(\
A
\) и \(\
E
\).