Узнать цену работы
Статьи по теме

Синус угла

Определение и формула синуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Синус угла \(\ \alpha \) острого угла правого треугольника - это отношение ноги, противоположной углу гипотенузы. Синус угла \(\ \alpha \) обозначается \(\ \sin \alpha \)

Рассмотрим произвольный правый треугольник \(\ \Delta A B C \) , углы \(\ \boldsymbol{\alpha} \) и \(\ \beta \) - остры. (Рисунок 1). Напишем тот факт, что синусы острых углов \(\ \alpha \) и \(\ \beta \) равны. В рассматриваемом треугольнике \(\ \mathrm{AB} \) или \(\ \mathrm{с} \) -гипотенуза, а напротив угла \(\ \alpha \) лежит катет \(\ \mathrm{BC} \) или \(\ a \), тогда\(\ \sin \alpha=\frac{a}{c} \quad \sin \alpha=\frac{B C}{A B} \)

Рис. 1

Против острого угла \(\ \beta \) лежит катет \(\ \mathrm{AC} \) или \(\ b \), тогда синус угла \(\ \beta \) равен

\(\ \sin \beta=\frac{b}{c} \quad \sin \beta=\frac{A C}{A B} \)

Рис. 2

Рассмотрим тригонометрический круг, то есть круг радиуса один, с центром в начале координат. Выберем произвольный угол \(\ \alpha \) (рис. 2), которому на единичной окружности соответствует точка \(\ A\left(x_{0}, y_{0}\right) \) . Опустим перпендикуляр \(\ \mathrm{AB} \) из точки \(\ A \) на ось \(\ \mathrm{Ox} \). Тогда \(\ \sin \alpha=\frac{A B}{A O} \) ,учитывая, что радиус окружности \(\ \mathrm{AO}=1 \), то \(\ \sin \alpha=A B=y_{0} \) , то есть синусом угла \(\ \alpha \) есть ордината точки \(\ \mathrm{A} \)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Катеты прямоугольного треугольника равны соответственно 5 и \(\ 2 \sqrt{6} \) см. Найти синусы острых углов треугольника.

  • Решение

    Сделаем рисунок (рис. 3). Обозначим \(\ a=5 \) и \(\ b=2 \sqrt{6} \) .По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы

    \(\ c^{2}=a^{2}+b^{2} \Rightarrow c^{2}=5^{2}+(2 \sqrt{6})^{2} \Rightarrow c^{2}=25+4 \cdot 6 \Rightarrow c^{2}=49 \Rightarrow c=7(\mathrm{см}) \)

    По определению, синус представляет собой отношение противоположной стороны к гипотенузе, затем

    Рис. 3

    \(\ \sin \alpha=\frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha=\frac{5}{7} \)

    \(\ \sin \beta=\frac{b}{c} \Rightarrow \sin \beta=\frac{2 \sqrt{6}}{7} \)

  • Ответ\(\ \sin \alpha=\frac{5}{7} \); \(\ \sin \beta=\frac{2 \sqrt{6}}{7} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Какие из точек на единичной окружности (рис. 4) удовлетворяют условию \(\ \sin \alpha=\frac{1}{2} \)

    Рис. 4

  • Решение

    Синус угла на окружности является ординатой конца радиуса оси с положительным направлением оси \(\ \mathrm{O} x \) заданный угол. Найдем на окружности точки, ординаты которых равны \(\ \frac{1}{2} \) Это точки \(\ A \) и \(\ E \).

  • Ответ Точки \(\ A \) и \(\ E \)
  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ