Узнать цену работы
Статьи по теме

Системы дифференциальных уравнений

Типы систем дифференциальных уравнений

Существует два основных типа систем дифференциальных уравнений: линейные однородные и линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений. Для решения таких систем используются два основных метода: метод исключения (при решении, система сводится к одному дифференциальному уравнению) и метод Эйлера (с использованием характеристического уравнения матрицы этой системы).

Рассмотрим далее линейные однородные системы дифференциальных уравнений (СДУ), которые в общем случае имеют вид \(\ \left\{\begin{array}{l}{\frac{d x}{d t}=a \cdot x(t)+b \cdot y(t)} \\ {\frac{d y}{d t}=c \cdot x(t)+d \cdot y(t)}\end{array}\right. \) где \(\ a_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\),\(\ b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\), \(\ C_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\), \(\ d \) – некоторые действительные числа, \(\ x(t) \), \(\ y(t) \) неизвестные искомые функции.

Решением системы дифференциальных уравнений называются такие функции \(\ x(t) \) и \(\ y(t) \) ,которые удовлетворяют всем уравнениям рассматриваемой системы.

Задачей Коши для СДУ называется такая задача, при которой необходимо найти частное решение этой системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений

Указанный метод проиллюстрируем на следующем примере.

ПРИМЕР

  • Задание

    Найти решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях \(\ x(0)=3 \), \(\ y(0)=0\left\{\begin{array}{l}{\frac{d x}{d t}=-2 x+4 y} \\ {\frac{d y}{d t}=-x+3 y}\end{array}\right. \)

  • Решение

    Поскольку заданы начальные условия, то дело имеем с задачей Коши. Решим систему методом исключения, то есть сведем систему дифференциальных уравнений к одному уравнению.

    Из первого уравнения системы выразим функцию \(\ y(t) \) через функцию \(\ x(t) \) и ее производную: \(\ \frac{d x}{d t}=x^{\prime}(t)=-2 x+4 y \Rightarrow 4 y=x^{\prime}+2 x \Rightarrow y=\frac{x^{\prime}+2 x}{4}=\frac{x^{\prime}}{4}+\frac{x}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Найдем теперь из последнего соотношения производную функции \(\ y(t) \) : \(\ y^{\prime}=\left(\frac{x^{\prime}}{4}+\frac{x}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)^{\prime}=\frac{x^{\prime \prime}}{4}+\frac{x^{\prime}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Подставляя полученные выражения функции \(\ y(t) \) и ее производной во второе уравнение заданной системы, будем иметь \(\ \frac{x^{\prime \prime}}{4}+\frac{x^{\prime}}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =-x+3 \cdot\left(\frac{x^{\prime}}{4}+\frac{x}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) \)

    Раскрываем скобки и сводим подобные: \(\ \frac{x^{\prime \prime}}{4}+\frac{x^{\prime}}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =-x+\frac{3 x^{\prime}}{4}+\frac{3 x}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \Rightarrow \frac{x^{\prime \prime}}{4}-\frac{x^{\prime}}{4}-\frac{x}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0 \)

    После умножения обеих частей последнего равенства на четыре, окончательно будем иметь: \(\ \frac{x^{\prime \prime}}{4}+\frac{x^{\prime}}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =-x+\frac{3 x^{\prime}}{4}+\frac{3 x}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \Rightarrow \frac{x^{\prime \prime}}{4}-\frac{x^{\prime}}{4}-\frac{x}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0 \)

    Получили однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции \(\ x^{\prime \prime}-x^{\prime}-2 x=0 \) .Найдем его решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид: \(\ x(t) \) корни которого \(\ k^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -k-2=0 \) Тогда решение \(\ k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-1 \), \(\ k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =2 \)

    Для нахождения второй неизвестной функции \(\ x(t)=C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{k_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{k_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t}=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{2 t} \) воспользуемся полученным выше соотношением \(\ y(t) \): \(\ y=\frac{x^{\prime}}{4}+\frac{x}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Итак, искомое решение системы

    \(\ y(t)=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}\left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{2 t}\right)^{\prime}+\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{2 t}\right)==\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}\left(-C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-t}+2 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{2 t}\right)+\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{2 t}\right) =-\frac{C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-t}}{4}+\frac{C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{2 t}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +\frac{C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-t}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +\frac{C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{2 t}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-t}}{4}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{2 t} \)

    Теперь найдем частное решение заданной системы, которое соответствует начальным условиям \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{2 t}} \\ {y(t)=\frac{C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-t}}{4}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{2 t}}\end{array}\right. \) .Подставляем соответствующие значения в систему и находим константы \(\ x(0)=3, y(0)=0 \), \(\ y(0)=0 \) и \(\ C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \): \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(0)=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-0}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{2 \cdot 0},} \\ {y(0)=\frac{C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-0}}{4}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{2 \cdot 0}}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{3=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \\ {0=\frac{C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{4}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }\end{array} \Rightarrow\right.\right. \left\{\begin{array}{l}{3=C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -\frac{C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{4},} \\ {C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =-\frac{C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{4}}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{3=\frac{3 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{4},} \\ {C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =-\frac{C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{4}}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =4} \\ {C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =-1}\end{array}\right.\right.\right. \)

    Таким образом, частное решение системы \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=4 e^{-t}-e^{2 t}} \\ {y(t)=e^{-t}-e^{2 t}}\end{array}\right. \)

  • Ответ\(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=4 e^{-t}-e^{2 t}} \\ {y(t)=e^{-t}-e^{2 t}}\end{array}\right. \)

    Рассмотрим теперь линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений. Такая система имеет следующий вид: \(\ \left\{\begin{array}{l}{\frac{d x}{d t}=a \cdot x(t)+b \cdot y(t)+f_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t)} \\ {\frac{d y}{d t}=c \cdot x(t)+d \cdot y(t)+f_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (t)}\end{array}\right. \)

    то есть она отличается от однородной системы, описанной выше, лишь добавками-слагаемыми \(\ f_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (t) \) и \(\ f_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (t) \)

    Найдем решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений методом исключения.

    ПРИМЕР

  • Задание

    Найти решение системы линейных дифференциальных уравнений методом исключения. \(\ \left\{\begin{array}{l}{\frac{d x}{d t}=2 x-5 y+3} \\ {\frac{d y}{d t}=5 x-6 y+1}\end{array}\right. \)

  • Решение

    Из первого уравнения системы выразим функцию \(\ y(t) \) через вторую функцию \(\ x(t) \) и ее производную \(\ x^{\prime}(t) \) : \(\ 5 y=2 x-x^{\prime}+3 \Rightarrow y=\frac{2 x-x^{\prime}+3}{5} \)

    Дифференцируем последнее равенство по t: \(\ y^{\prime}=\left(\frac{2 x-x^{\prime}+3}{5}\right)^{\prime}=\frac{2 x^{\prime}-x^{\prime \prime}}{5} \)

    Полученные выражения для функции \(\ y(t) \) и ее производной \(\ y^{\prime}(t) \) подставляем во второе уравнение системы: \(\ \frac{2 x^{\prime}-x^{\prime \prime}}{5}=5 x-\frac{6\left(2 x-x^{\prime}+3\right)}{5}+1 \)

    Домножим левую и правую части этого равенства на пять: \(\ 2 x^{\prime}-x^{\prime \prime}=25 x-6\left(2 x-x^{\prime}+3\right)+5 \)

    Упрощаем полученное выражение: \(\ x^{\prime \prime}-2 x^{\prime}+25 x-12 x+6 x^{\prime}-18+5=0 \Rightarrow x^{\prime \prime}+4 x^{\prime}+13 x=13 \)

    Итак, получили линейное неоднородное уравнение второго порядка относительно искомой функции \(\ x(t) \)

    Решим его.

    Вначале найдем решение однородного дифференциального уравнения второго порядка \(\ x^{\prime \prime}+4 x^{\prime}+13 x=0 \)

    Соответствующее ему характеристическое уравнение \(\ k^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +4 k+13=0 \)

    Решим полученное квадратное уравнение:

    \(\ D=4^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -4 \cdot 1 \cdot 13=16-52=(6 i)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    \(\ k_{1,2}=\frac{-4 \pm 6 i}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =-2 \pm 3 i \)

    Поскольку корни характеристического уравнения комплексны, то решение однородного дифференциального уравнения запишется в виде: \(\ x_{\text { odn }}(t)=e^{-2 t}\left(C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cos 3 t+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \sin 3 t\right) \)

    Частное решение неоднородного дифференциального уравнения \(\ x^{\prime \prime}+4 x^{\prime}+13 x=13 \) ищем по виду правой части в виде \(\ x_{\text {chastn}}(t)=A \)

    Подставим это решение в рассматриваемое дифференциальное уравнение, для этого найдем от него первую и вторую производные: \(\ x_{c h a s t n}^{\prime}=(A)^{\prime}=0 \), \(\ x_{\text {chastn}}^{\prime \prime}=(0)^{\prime}=0 \)

    Тогда \(\ 0+4 \cdot 0+13 A=13 \Rightarrow A=1 \) то есть \(\ x_{c h a s t n}(t)=1 \) Следовательно, общее решение неоднородного уравнения \(\ x(t)=x_{o d n}(t)+x_{c h a s t n}(t)=e^{-2 t}\left(C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cos 3 t+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \sin 3 t\right)+1 \)

    Найдем далее функцию \(\ y(t) \) для этого воспользуемся выше полученным равенством \(\ y=\frac{2 x-x^{\prime}+3}{5} \). Производная функции \(\ x(t) \) \(\ x^{\prime}=\left(C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-2 t} \cos 3 t+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{-2 t} \sin 3 t+1\right)^{\prime}=-2 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-2 t} \cos 3 t-3 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-2 t} \sin 3 t-2 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{-2 t} \sin 3 t+3 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{-2 t} \cos 3 t+0=e^{-2 t}\left(\left(3 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -2 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) \cos 3 t-\left(3 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +2 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) \sin 3 t\right) \)

    Тогда \(\ y(t)=\frac{2\left[e^{-2 t}\left(C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cos 3 t+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \sin 3 t\right)+1\right]-e^{-2 t}\left(\left(3 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -2 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) \cos 3 t-\left(3 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +2 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) \sin 3 t\right)+3}{5}= \frac{e^{-2 t}\left[\left(4 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -3 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) \cos 3 t+\left(3 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +4 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) \sin 3 t\right]+2+3}{5}= e^{-2 t}\left(\frac{4 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -3 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{5} \cos 3 t+\frac{3 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +4 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{5} \sin 3 t\right)+1 \)

    Таким образом, искомое решение

    \(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=e^{-2 t}\left(C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cos 3 t+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \sin 3 t\right)+1} \\ {y(t)=e^{-2 t}\left(\frac{4 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -3 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{5} \cos 3 t+\frac{3 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +4 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{5} \sin 3 t\right)+1}\end{array}\right. \)

  • Ответ\(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=e^{-2 t}\left(C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cos 3 t+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \sin 3 t\right)+1} \\ {y(t)=e^{-2 t}\left(\frac{4 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -3 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{5} \cos 3 t+\frac{3 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +4 C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{5} \sin 3 t\right)+1}\end{array}\right. \)

    Метод Эйлера (метод характеристического уравнения)

    Работу этого метода рассмотрим на примере.

    ПРИМЕР

  • Задание

    Найти общее решение системы уравнений с помощью характеристического уравнения (методом Эйлера). \(\ \left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=-x-5 y} \\ {y^{\prime}=-7 x-3 y}\end{array}\right. \)

  • Решение

    Составляем матрицу заданной системы (она состоит из коэффициентов при неизвестных функциях в правых частях уравнений системы): \(\ A=\left(\begin{array}{ll}{-1} & {-5} \\ {-7} & {-3}\end{array}\right) \)

    Найдем собственные значения записанной матрицы, для этого составим характеристическое уравнение и определим его корни: \(\ |A-\lambda E|=0 \Rightarrow\left|\left(\begin{array}{cc}{-1} & {-5} \\ {-7} & {-3}\end{array}\right)-\lambda \cdot\left(\begin{array}{cc}

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    &
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \\
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \end{array}\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}{-1-\lambda} & {-5} \\ {-7} & {-3-\lambda}\end{array}\right|= \left|\begin{array}{cc}{-1} & {-\lambda} & {-5} \\ {-7} & {-3-\lambda}\end{array}\right|=(-1-\lambda)(-3-\lambda)-(-7) \cdot(-5)=\lambda^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +4 \lambda-32=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}{\lambda_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-8} \\ {\lambda_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =4}\end{array}\right. \)

    Найдем теперь собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям:

    1) \(\ \lambda_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-8 \) ,тогда для определения координат собственного вектора запишем систему \(\ \left(A-\lambda_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    E\right) \overline{x}_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =0\left\{\begin{array}{l}{7 x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -5 x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0} \\ {-7 x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +5 x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0}\end{array}\right. \)

    Данная система эквивалентна уравнению \(\ 7 x_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -5 x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0 \Rightarrow x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =\frac{5 x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{7} \) . При \(\ x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =7 \) получаем, что \(\ x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =5 \) . Тогда первый собственный вектор \(\ \overline{x}_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =(5 ; 7) \)

    \(\ \lambda_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =4 \Rightarrow\left(A-\lambda_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    E\right) \overline{x}_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\overline
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{-5 x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -5 x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0} \\ {-7 x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -7 x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0}\end{array} \Rightarrow x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0, \Rightarrow x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right. \)

    Для \(\ x_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =1 \) получаем, второй собственный вектор \(\ \overline{x}_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =(-1 ; 1) \)

    Тогда общее решение исконной системы дифференциальных уравнений \(\ \left(\begin{array}{c}{x(t)} \\ {y(t)}\end{array}\right)=C_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{\lambda_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    t} \overline{x}_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{\lambda_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    t} \overline{x}_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot e^{-8 t} \cdot\left(\begin{array}{c}{5} \\ {7}\end{array}\right)+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot e^{4 t} \cdot\left(\begin{array}{c}{-1} \\
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}{5 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-8 t}} \\ {7 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-8 t}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{-C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{4 t}} \\ {C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{4 t}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{5 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-8 t}-C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{4 t}} \\ {7 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-8 t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{4 t}}\end{array}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x(t)=5 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-8 t}-C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{4 t}} \\ {y(t)=7 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-8 t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{4 t}}\end{array}\right. \)

  • Ответ\(\ \left\{\begin{array}{l}{x(t)=5 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-8 t}-C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{4 t}} \\ {y(t)=7 C_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    e^{-8 t}+C_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    e^{4 t}}\end{array}\right. \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы