Сравнение бесконечно малых функций
Пусть функции
\(\ \alpha(x) \) и \(\ \beta(x) \) являются бесконечно малыми функциями в точке \(\ x=a \), т. е.
\(\ \lim _{x \rightarrow a} \alpha(x)=0, \lim _{x \rightarrow a} \beta(x)=0 \)
и пусть существует предел их отношения \(\ \lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \) , который равен \(\ q \):
\(\ \lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=q \) Тогда, если:
1) \(\ q \) - конечное ненулевое число, то бесконечно малые функции \(\ \alpha(x) \) и \(\ \beta(x) \) называются бесконечно малыми функциями того же порядка;
2)\(\ q=0 \), то функция \(\ \alpha(x) \) называется инфинитезимальной функцией высшего порядка, чем функция \(\ \beta(x) \)
3) \(\ q=\infty \) , то функция \(\ \beta(x) \) называется бесконечно малой функцией высшего порядка, чем \(\ \alpha(x) \).
4) \(\ q=1 \), то функции \(\ \alpha(x) \) и \(\ \beta(x) \) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями.
ПРИМЕР
Сравните порядок бесконечно малых функций \(\
\alpha(x)=\sin x_{n} \beta(x)=x^{2}
\) и \(\
\beta(x)=x^{2}
\) в точке \(\
x=0
\)
Для сравнения мы найдем предел отношения данных функций в \(\
x \rightarrow 0
\) :
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}
\)
Полученный предел является первым замечательным пределом, и его значение равно 1:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1
\)
И тогда мы заключаем, что данные функции эквивалентны бесконечно малым функциям (так как \(\
q=1
\)).
Эквивалентные бесконечно малые функции.
Эквивалентные бесконечно малые функции играют особую роль среди всех бесконечно малых функций.
Теоремы сравнения бесконечно малых функций
Предел отношения двух бесконечно малых функций не меняется, если каждый или один из них заменен эквивалентным бесконечно малым:
\(\
\begin{array}{l}{\alpha(x) \sim \alpha^{\prime}(x)} \\ {\beta(x) \sim \beta^{\prime}(x)}\end{array} \rightarrow a \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha^{\prime}(x)}{\beta^{\prime}(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha^{\prime}(x)}{\beta(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha(x)}{\beta^{\prime}(x)}
\)
Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций бесконечно мала высшего порядка, чем каждая из них.
Если разность бесконечно малых функций \(\
\alpha(x)
\) и \(\
\beta(x)
\) бесконечно мала высшего порядка, чем эти функции, то функции \(\
\alpha(x)
\) и \(\
\beta(x)
\) эквивалентны бесконечно малым.
Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна члену младшего порядка.
Термин, эквивалентный сумме бесконечно малых, называется основной частью этой суммы.
Замена суммы инфинитезимальных функций на основную часть называется сбросом бесконечно малого высшего порядка.
ПРИМЕР
Поиск предела
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x^{2}+7 x^{3}}{3 x+5 x^{2}-6 x^{3}}
\)
Этот предел содержит неопределенность типа.
\(\
\left[\frac{3 \cdot 0^{2}+7 \cdot 0^{3}}{3 \cdot 0+5 \cdot 0^{2}-6 \cdot 0^{3}}=\frac{0}{0}\right]
\)
Остановимся на числителе и знаменателе дроби под знаком предела инфинитезимальных высших порядков (т. Е. Заменим каждую сумму своей основной частью), получим:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x^{2}+7 x^{3}}{3 x+5 x^{2}-6 x^{3}}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x^{2}}{3 x}=\lim _{x \rightarrow 0} x=0
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x^{2}+7 x^{3}}{3 x+5 x^{2}-6 x^{3}}=0
\)
Приведем таблицу эквивалентных бесконечно малых функций в точке \(\
\lim _{x \rightarrow a} \alpha(x)=0
\):
\(\
\sin \alpha(x) \sim \alpha(x) \qquad e^{\alpha(x)}-1 \sim \alpha(x)
\)
\(\
\operatorname{tg} \alpha(x) \sim \alpha(x) \qquad a^{\alpha(x)}-1 \sim \alpha(x) \ln a
\)
\(\
\arcsin \alpha(x) \sim \alpha(x) \qquad \ln (1+\alpha(x)) \sim \alpha(x)
\)
\(\
\operatorname{arctg} \alpha(x) \sim \alpha(x) \qquad \log _{a}(1+\alpha(x)) \sim \frac{\alpha(x)}{\ln a}
\)
\(\
1-\cos \alpha(x) \sim \frac{\alpha^{2}(x)}{2} \quad(1+\alpha(x))^{m}-1 \sim m \alpha(x)
\)
\(\
\sqrt[m]{1+\alpha(x)}-1 \sim \frac{\alpha(x)}{m} \qquad \sqrt{1+\alpha(x)}-1 \sim \frac{\alpha(x)}{2}
\)