Средняя линия треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Средняя линия треугольника - это сегмент, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Формулы и свойства центральной линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равна половине ее:
\(\
K N \| A C, K N=\frac{1}{2} A C
\)
В любом треугольнике вы можете нарисовать три средних линии, на пересечении которых образуются 4 равных треугольника, аналогичные оригинальному с коэффициентом 1/2.
Средняя линия обрезает треугольник, который похож на этот, и его площадь равна одной четверти исходного треугольника.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
В треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) была проведена средняя линия \(\
\mathrm{MN}
\), параллельная \(\
\mathrm{AC}
\). Найдите область треугольника \(\
\mathrm{MBN}
\), если известно, что \(\
\mathrm{MN = 6 см.}
\), а высота \(\
\mathrm{BK}
\), опущенная на сторону переменного тока, составляет 5 см.
В треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) (см. Рис.1) средняя линия \(\
\mathrm{MN}
\) равна половине стороны \(\
\mathrm{AC}
\), поэтому
Найдите область треугольника \(\
\mathrm{ABC}
\):
\(\
S_{A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B K=\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5=30 \mathrm{cm}^{2}
\)
Так как средняя линия \(\
\mathrm{MN}
\) разрезает треугольник \(\
M B N
\), площадь которого равна одной четверти исходного треугольника \(\
\mathrm{ABC}
\), площадь треугольника \(\
M B N
\) равна:
\(\
S_{M B N}=\frac{1}{4} S_{A B C}=\frac{1}{4} \cdot 30=7,5 \mathrm{cm}^{2}
\)
\(\
S_{M B N}=7,5
\)
ПРИМЕР 2
В треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) мы построили средние линии \(\
\mathrm{KN = 4 см}
\), \(\
\mathrm{NL = 5 см}
\) и \(\
\mathrm{KL = 8 см}
\). Найдите периметр треугольника \(\
\mathrm{ABC}
\).
Так как средняя линия находится на половине стороны, в которой она параллельна, мы можем найти длины всех сторон треугольника \(\
\mathrm{ABC}
\):
\(\
\mathrm{AC}=2 \mathrm{KN}=8 \mathrm{см.}
\), \(\
\mathrm{AB}=2 \mathrm{NL}=10 \mathrm{см.}
\), \(\
\mathrm{BC}=2 \mathrm{KL}=16 \mathrm{см.}
\)
Теперь вы можете найти периметр треугольника \(\
\mathrm{ABC}
\) как сумму длин всех его сторон:
\(\
\
P_{A B C}=A C+A B+B C=8+10+16=34 \mathrm{см.}
\)
\(\
P_{A B C}=34 \mathrm{см.}
\)