Узнать цену работы
Статьи по теме

Стационарное уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера

Для частиц квантового мира существуют другие законы, чем для объектов классической механики. Согласно предположению де Бройля, микрообъекты обладают свойствами как частиц, так и волн - и, действительно, при рассеянии пучка электронов на дыре наблюдается дифракция, характерная для волн.

Поэтому мы можем говорить не о траекториях квантовых частиц, а о вероятности того, что частица будет находиться в определенной точке в определенный момент времени.

Что описывает уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера предназначено для описания особенностей движения квантовых объектов в полях внешних сил. Часто частица движется через силовое поле, которое не зависит от времени. Для этого случая стационарное уравнение Шредингера записывается:

В представленном уравнении m и Е - масса и, соответственно, энергия частицы, находящейся в силовом поле, U - потенциальная энергия этого поля. является оператором Лапласа. - постоянная Планка, равная 6.626 • 10-34 Дж • с.

(его также называют амплитудой вероятности или psi-функцией) - это функция, которая позволяет нам выяснить, в каком месте пространства наш микрообъект, скорее всего, будет расположен. Физический смысл - это не сама функция, а ее квадрат. Вероятность того, что частица находится в элементарном объеме dV:

Следовательно, с вероятностью можно найти функцию в конечном объеме:

Так как функция psi является вероятностью, она может быть не меньше нуля и не превосходить ее. Полная вероятность нахождения частицы в бесконечном объеме является условием нормировки:

Для функции psi действует принцип суперпозиции: если частица или система могут находиться в нескольких квантовых состояниях , то для нее также может быть определено состояние, определяемое их суммой:

Стационарное уравнение Шредингера имеет много решений, но решение должно учитывать граничные условия и выбирать только собственные решения - те, которые имеют физический смысл. Такие решения существуют только для индивидуальных значений энергии частиц E, которые образуют дискретный энергетический спектр частицы.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Волновая функция описывает расстояние электрона до ядра водорода: - расстояние между электроном и ядром, а - первый боровский радиус. На каком расстоянии от ядра электрона, скорее всего, есть?

  • Решение

    1) Выражая объем через радиус ядра, находим вероятность того, что электрон находится на некотором расстоянии от ядра:

    2) Вероятность того, что электрон находится в элементарном «кольце» dr:

    3) Чтобы найти наиболее вероятное расстояние, мы найдем экстремум из последнего выражения:

    Решив это уравнение, получим r = a - наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром.

  • Ответ

    r = a - с наибольшей вероятностью ядро расположено на расстоянии от первого боровского радиуса от ядра.

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найти уровни энергии частиц в бесконечно глубокой потенциальной яме.

  • Решение.

    Пусть частица движется по оси абсцисс. Ширина ямы - л. Мы подсчитываем энергию со дна ямы и описываем ее как функцию:

    Стационарное уравнение Шредингера

    Запишем одномерное стационарное уравнение Шредингера:

    Рассмотрим граничные условия. Поскольку мы считаем, что частица не может проникнуть за стены, она находится вне ямы . На границе скважины psi-функция также равна нулю: . В яме потенциальная энергия U = 0.

    Тогда уравнение Шредингера, записанное для ямы, будет упрощено:

    В форме это DU гармонического осциллятора:

    Общее решение для этого выражения:

    Подставим в последнюю формулу

    Заменить условие на границе:

    Поскольку мы заменили , то энергия квантовой частицы:

    Энергия частицы квантуется - она принимает только дискретные значения.

  • Ответ

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ