Сумма кубов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Разница между кубами двух выражений равна произведению разницы между этими выражениями и неполного квадрата их суммы.
\(\
a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)
\)
Выражение \(\
a^{2}+a b+b^{2}
\) называется неполной квадратичной суммой. Он отличается от полного квадрата суммы только вторым членом.
Формула истинна и справа налево, то есть
\(\
(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)=a^{3}-b^{3}
\)
Примеры решения проблем на тему «Разница кубов»
ПРИМЕР 1
по расширению бинома \(\
27 a^{6}-x^{3}
\) на факторы.
Перепишем данное выражение в виде:
\(\
27 a^{6}-x^{3}=3^{3} \cdot\left(a^{2}\right)^{3}-x^{3}=\left(3 a^{2}\right)^{3}-x^{3}
\)
Тогда, согласно формуле «разность кубов», имеем:
\(\
27 a^{6}-x^{3}=\left(3 a^{2}\right)^{3}-x^{3}=\left(3 a^{2}-x\right)\left(\left(3 a^{2}\right)^{2}+3 a^{2} \cdot x+x^{2}\right)=\left(3 a^{2}-x\right)\left(9 a^{4}+3 a^{2} x+x^{2}\right)
\)
\(\
27 a^{6}-x^{3}=\left(3 a^{2}-x\right)\left(9 a^{4}+3 a^{2} x+x^{2}\right)
\)
ПРИМЕР 2
Согласно формуле для разности кубов мы имеем:
\(\
12^{3}-11^{3}=(12-11)\left(12^{2}+12 \cdot 11+11^{2}\right)=1 \cdot(144+132+121)=397
\)
\(\
12^{3}-11^{3}=397
\)