Узнать цену работы
Статьи по теме

Сумма тангенсов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сумма тангенсов двух углов \(\ \alpha \) и \(\ \beta \) равна отношению синуса суммы \(\ \alpha+\beta \) к произведению косинусов этих углов:

\(\ \operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta} \)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание
  • Проверить, что \(\ \operatorname{tg} 15^{\circ}+\operatorname{tg} 60^{\circ}=2 \)

  • Доказательство

    Применим формулу суммы тангенсов

    \(\ \operatorname{tg} 15^{\circ}+\operatorname{tg} 60^{\circ}=\frac{\sin \left(15^{\circ}+60^{\circ}\right)}{\cos 15^{\circ} \cos 60^{\circ}}=\frac{\sin 75^{\circ}}{\cos 15^{\circ} \cos 60^{\circ}} \)

    Представим \(\ \cos 15^{\circ} \) в \(\ \cos 15^{\circ}=\cos \left(90^{\circ}-75^{\circ}\right)=\sin 75^{\circ} \) и подставим в предыдущее равенство: \(\ \frac{\sin 75^{\circ}}{\cos 15^{\circ} \cos 60^{\circ}}=\frac{\sin 75^{\circ}}{\sin 75^{\circ} \cos 60^{\circ}}=\frac{1}{\cos 60^{\circ}}=2 \)

    т.е.

    \(\ \operatorname{tg} 15^{\circ}+\operatorname{tg} 60^{\circ}=2 \)

  • Что и требовалось доказать.

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Найти значение выражения \(\ \operatorname{tg}^{3 \pi}+\operatorname{tg} \frac{\pi}{8} \)

  • Решение

    Представим сумму разность в виде

    \(\ \operatorname{tg} \frac{3 \pi}{8}+\operatorname{tg} \frac{\pi}{8}=\frac{\sin \left(\frac{3 \pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right)}{\cos \frac{3 \pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8}}=\frac{\sin \frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{2}\right)}=\frac{1}{\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+0\right)}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2} \)

  • Ответ

    \(\ \operatorname{tg} \frac{3 \pi}{8}+\operatorname{tg} \frac{\pi}{8}=2 \sqrt{2} \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ