Узнать цену работы
Статьи по теме

Свойства функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция \(\ y=f(x) \) является правилом, согласно которому значение переменной y присваивается каждому значению переменной \(\ x \).

Переменная \(\ x \) является независимой переменной (называемой «аргументом»), а переменная y является зависимой переменной («функция»).

Значения, которые может принимать независимая переменная \(\ x \), образуют область функции (обозначают \(\ D(f) \) ), а значения переменной y образуют область значений функции (обозначают \(\ E(f) \) ).

Существует несколько способов установки функции - аналитической, табличной, графической.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Графом функции является множество точек плоскости с координатами \(\ (x, f(x)) \) . Для построения графика функция должна быть исследована, и для этого необходимо знать свойства функции.

  • Основные свойства функции

    1. Четность и нечетные функции.

    Функция \(\ f(x) \) вызывается, даже если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого \(\ x \) из области функции

    \(\ f(-x)=f(x) \)

    Граф четной функции симметричен относительно оси \(\ O y \) .

    Функция \(\ f(x) \) называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из области функции

    \(\ f(-x)=-f(x) \)

    Граф четной функции симметричен относительно начала координат.

    Если ни одно из условий \(\ f(-x)=f(x) \), \(\ f(-x)=-f(x) \) не выполняется, то функция называется ни четной, ни нечетной (или функцией общего вида).

    ПРИМЕР

  • Задача Чтобы исследовать функцию \(\ f(x)=x^{2} \) на четности.

  • Решение. Для данной функции

    \(\ f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x) \)

    Так что эта функция четная.

  • Ответ: Функция четная.

    2. Периодичность функции.

    Функция называется периодической, если существует ненулевое число \(\ T \) такое, что \(\ f(x)=f(x+T) \) для любого x в области функции.

    ПРИМЕР

    Функция \(\ f(x)=\sin x \) периодична, так как

    \(\ f(x+2 \pi)=\sin (x+2 \pi)=\sin x \)

    Период этой функции \(\ T=2 \pi \)

    Заметим, что все тригонометрические функции являются периодическими.

    3. Монотонность (возрастание, убывание) функции.

    Функция называется возрастающей на некотором интервале, если для любого \(\ x_{1} \), \(\ x_{2} \) этого интервала такой, что \(\ x_{1}>x_{2} \) ,выполняется неравенство

    \(\ f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right) \)

    Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любого \(\ x_{1} \), \(\ x_{2} \) этого интервала такое, что выполнено \(\ x_{1} < x_{2} \)

    \(\ f \ left (x_{1} \ right) > f \ left (x_{2} \ right) \)

    4. Экстремумы функции.

    Точка \(\ x_{0} \) называется точкой максимума функции \(\ f(x) \) , если для всех \(\ x \) из некоторой окрестности этой точки выполнено \(\ f\left(x_{0}\right)>f(x) \) . Значение \(\ y_{0}=f\left(x_{0}\right) \) называется максимумом этой функции.

    Точка \(\ x_{0} \)называется точкой минимума функции \(\ f(x) \) , если \(\ f\left(x_{0}\right) < f(x) \) выполняется для всех х из некоторой окрестности. Значение \(\ f(x) \) называется минимумом этой функции.

    Чтобы исследовать функцию \(\ y_{0}=f\left(x_{0}\right) \) на экстремуме, необходимо:

    Найти производную \(\ f^{\prime}(x) \) .

    Найдите значения \(\ x \), в которых \(\ f^{\prime}(x)=0 \) или \(\ f^{\prime}(x) \) не существует (найдите критические точки).

    Исследуйте знак производной слева и справа от каждой критической точки.

    Найти значение функции в экстремальных точках.

    5. Нули функции.

    Функция \(\ 0 \) - это значение аргумента \(\ x_{0} \) , при котором значение функции \(\ f\left(x_{0}\right) \) равно нулю.

    ПРИМЕР 1

  • Задача: Чтобы исследовать функцию \(\ f(x)=x^{4}+2 \cos 3 x+x^{2}-5 \) для четной / нечетной четности.

  • Решение: Найдите значение функции \(\ f(-x) \) :

    \(\ f(-x)=(-x)^{4}+2 \cos (-3 x)+(-x)^{2}-5=x^{4}+2 \cos 3 x+x^{2}-5=f(x) \)

    Так как \(\ f(-x)=f(x) \) функция четная.

  • Ответ. Функция четная.

    ПРИМЕР 2

  • Задача Изучить функцию \(\ f(x)=x^{2}+6 x-5 \) на экстремуме.

  • Решение. Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

    \(\ f^{\prime}(x)=2 x+6=0 \Rightarrow x=-3 \)

    Производная функции определена во всех точках, поэтому мы имеем одну критическую точку \(\ x=-3 \). Отметьте его на числовой строке и определите знак производной справа и слева от нее

    При переходе через точку \(\ x=-3 \) производная изменила свой знак с «-» на «+», поэтому функция достигает своего минимума в этой точке. Найти значение функции в этой точке:

    Точка с координатами \(\ (-3,-14) \) является точкой минимума.

  • Ответ: Точка \(\ (-3,-14) \) - это точка минимума.
  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ