Свойства касательной, секущей и хорды
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Круг - это локус точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром круга.
Сегмент, соединяющий две точки круга, называется хордой (на рисунке это отрезок \(\
A B
\)). Хорда, проходящая через центр круга, называется диаметром круга.
Хорда окружности обладает следующими свойствами:
1. Аккорды, находящиеся на одном и том же расстоянии от центра круга, равны.
2. Если аккорды равны центральным углам, то они равны.
3. Если диаметр перпендикулярен хорде, то он проходит через его середину.
4. Если вписанные углы основаны на одном аккорде, то они равны.
5. Две дуги равны, если они заключены между двумя равными аккордами.
6. Если пара вписанных углов основана на одном и том же аккорде, а их вершины лежат на противоположных сторонах хорды, то их сумма равна \(\
180^{\circ}
\).
7. Для любых двух хорд \(\
A B
\) и \(\
C D
\), пересекающихся в точке \(\
O
\), справедливо следующее равенство: \(\
A O \cdot O B=C O \cdot O D
\)
Прямая, имеющая одну общую точку с кругом, называется касательной (на рисунке - сегмент CD).
Прямая, имеющая две общие точки с кругом, называется секущей (сегмент \(\
\mathrm{CN}
\)).
Касательные и секущие свойства
1. Тангенс перпендикулярен радиусу, обращенному к точке касания.
2. Отрезки касательных, взятых из одной точки, равны.
3. Если касательную и сечение тянуть из точки, лежащей вне круга, то квадрат длины касательной равен произведению сечения на его внешнюю часть:
\(\
A B^{2}=A D \cdot A C
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
В круге с радиусом 4 см мы провели аккорд \(\
A B=6 \mathrm{см}
\). Найдите расстояние от центра круга до аккорда.
Концы хорды \(\
A B
\) и центр \(\
O
\) круга образуют треугольник \(\
ABO
\). Расстояние от центра круга до аккорда - это длина высоты треугольника \(\
ABO
\), опущенная от вершины \(\
O
\) к основанию \(\
AB
\). Так как треугольник \(\
ABP
\) является равнобедренным (\(\
A O=O B
\) - радиусы), высота \(\
O K
\) также является медианной, то есть \(\
A K=K B=3 см
\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\
AKO
\). Найдите ногу \(\
KO
\), используя теорему Пифагора:
\(\
K O=\sqrt{A O^{2}-A K^{2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7} \mathrm{cm}
\)
\(\
K O=\sqrt{7}
\)
ПРИМЕР 2
От точки к кругу рисуется касательная \(\
A B=12 \mathrm{см}
\) и секущая \(\
(A C D)
\). Известно, что \(\
A C
\) составляет половину размера компакт-диска. Найдите длину секущей.
Из свойств секущей и касательной известно, что \(\
A B^{2}=A D \cdot A C
\) . Пусть \(\
A C=x
\), то \(\
C D=2 x
\) и
\(\
A D=A C+C D=x+2 x=3 x
\)
Как следствие,
\(\
12^{2}=3 x \cdot x=3 x^{2}
\)
откуда \(\
x=4 \sqrt{3}
\) . В этом случае,
\(\
A D=3 x=12 \sqrt{3} \mathrm{cm}
\)
\(\
A D=12 \sqrt{3}
\)