Узнать цену работы
Статьи по теме

Свойства матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрица

\(\ A=\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\dots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\ldots} & {a_{2 n}} \\ {\ldots} & {\ldots} & {\ldots} & {\ldots} \\ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\dots} & {a_{m n}}\end{array}\right) \) представляет собой прямоугольную таблицу чисел, состоящую из \(\ \mathrm{m} \) строк и \(\ \mathrm{n} \) столбцов.

Он имеет размер \(\ m \times n \) и обозначается \(\ A_{m \times n} \) .

Элементы матрицы \(\ A \) обозначаются буквами с двумя индексами, первый из которых указывает номер строки, в которой находится элемент, а второй - номер столбца.

Две матрицы \(\ A \) и \(\ B \) называются равными, если они имеют одинаковый размер и соответствующие им элементы равны, т.е.

\(\ A_{m \times n}=B_{k \times p} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{m=k} \\ {n=p} \\ {a_{i j}=b_{i j}, i=\overline{1, m}, j=\overline{1, n}}\end{array}\right. \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если \(\ m=n \), то матрица называется квадратной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы равны нулю, кроме тех, которые расположены на главной диагонали.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Единичные матрицы являются диагональной матрицей, в которой все элементы на главной диагонали равны 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Сумма двух матриц \(\ A \) и \(\ B \) того же размера \(\ m \times n \) является матрицей \(\ C \) того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых матрицы, т. е. Если \(\ A_{m \times n}=\left(a_{i j}\right) \) и \(\ B_{m \times n}=\left(b_{i j}\right) \),

то

\(\ C_{m \times n}=A_{m \times n}+B_{m \times n}=\left(a_{i j}+b_{i j}\right) \)

где \(\ i=\overline{1, m}, \quad j=\overline{1, n} \)

Произведением матрицы \(\ A_{m \times n}=\left(a_{i j}\right) \) числом \(\ k \in R \) является матрица того же размера \(\ B_{m \times n}=\left(b_{i j}\right) \)в ,каждый элемент которой получается путем умножения соответствующего элемента матрицы A на число k, т.е.

\(\ b_{i j}=k \cdot a_{i j} \)

где \(\ i=\overline{1, m} \), \(\ j=\overline{1, n} \)

Свойства линейных матричных операций

1. \(\ A+B=B+A \) - коммутативность (взаимозаменяемый закон) сложения;

2. \(\ A+(B+C)=(A+B)+C \) - ассоциативность (объединение закона) сложения;

3. для любой матрицы \(\ A \) существует единственная нулевая матрица \(\ \theta \) такая, что \(\ A+\theta=A \) ;

4. для любой матрицы \(\ A \) существует единственная матрица \(\ (-A)=-1 \cdot A \) , называемая противоположной, такая, что \(\ A+(-A)=\theta \) где \(\ \theta \) - нулевая матрица;

5.\(\ 1 \cdot A=A \)

6.\(\ \alpha \cdot(\beta A)=(\alpha \beta) \cdot A \)

7.\(\ (\alpha+\beta) \cdot A=\alpha A+\beta A \)

8.\(\ \alpha \cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B \)

ПРИМЕР

  • Задача

    Для матриц \(\ \Delta \) и \(\ B \) найдите \(\ 2 A+3 B \).

    \(\ A=\left(\begin{array}{cc}{1} & {2} \\ {-1} & {7}\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc}{0} & {4} \\ {3} & {-2}\end{array}\right) \)

  • Решение

    Найти матрицы \(\ 2 A \) и \(\ 3 \mathrm{B} \):

    \(\ 2 A=2 \cdot\left(\begin{array}{cc}{1} & {2} \\ {-1} & {7}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2} & {4} \\ {-2} & {14}\end{array}\right) \)

    \(\ 3 B=3 \cdot\left(\begin{array}{cc}{0} & {4} \\ {3} & {-2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{0} & {12} \\ {9} & {-6}\end{array}\right) \)

    Затем мы найдем их сумму

    \(\ 2 A+3 B=\left(\begin{array}{cc}{2} & {4} \\ {-2} & {14}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{0} & {12} \\ {9} & {-6}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2} & {16} \\ {7} & {8}\end{array}\right) \)

  • Ответ

    \(\ 2 A+3 B=\left(\begin{array}{ll}{2} & {16} \\ {7} & {8}\end{array}\right) \)

    Произведение матрицы \(\ A \) размера \(\ m \times n \) и матрицы \(\ \mathrm{B} \) размера \(\ n \times k \) называется матрицей \(\ C=A B \) размера \(\ m \times k \) , элемент \(\ c_{i j} \) в i-й строке и j-столбце равен к сумме произведений соответствующих элементов -ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы \(\ B \):

    \(\ c_{i j}=a_{i 1} \cdot b_{1 j}+a_{i 2} \cdot b_{2 j}+\ldots+a_{i n} \cdot b_{n k}=\sum_{p=1}^{n} a_{i p} b_{p k} \)

    Комментарий. Для матриц \(\ A \) и \(\ B \) произведение определено, если число столбцов матрицы \(\ A \) равно числу строк матрицы \(\ B \).

    Свойства операции умножения матрицы

    \(\ A,B,C \) - матрицы, \(\ \alpha, \beta \in R \)

    1.\(\ A \cdot(B \cdot C)=(A \cdot B) \cdot C \) - ассоциативность умножения;

    2.\(\ \alpha \cdot(A \cdot B)=(\alpha A) B \)

    3.\(\ (A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C \)

    4.\(\ A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C \)

    Если матрица \(\ A \) имеет размер \(\ m \times n \) , то равенство \(\ E_{m} A=A E_{n}=A \) справедливо только в том случае, если \(\ E_{m}, E_{n} \) является единичной матрицей m-го и n-го порядка.

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найти работу с матрицей

    \(\ A=\left(\begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {0} & {4}\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-1} \\ {0} & {2} & {-3}\end{array}\right) \)

  • Решение

    Матрица A имеет размеры 2 x 2, а матрица B имеет размеры 2 x 3, то есть число столбцов первой матрицы совпадает с числом столбцов второй матрицы, что означает, что их можно умножить. В результате умножения получаем матрицу C с размерами 2 x 3:

    \(\ A_{2 \times 2} B_{2 \times 3}=C_{2 \times 3} \)

    \(\ C_{2 \times 3}=\left(\begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {0} & {4}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-1} \\ {0} & {2} & {-3}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc}{-1 \cdot 1+2 \cdot 0} & {-1 \cdot 2+2 \cdot 2} & {-1 \cdot(-1)+2 \cdot(-3)} \\ {0 \cdot 1+4 \cdot 0} & {0 \cdot 2+4 \cdot 2} & {0 \cdot(-1)+4 \cdot(-3)}\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}{-1} & {2} & {-5} \\ {0} & {8} & {-12}\end{array}\right) \)

  • Ответ

    \(\ C=\left(\begin{array}{ccc}{-1} & {2} & {-5} \\ {0} & {8} & {-12}\end{array}\right) \)

    Матрица \(\ A^{t} \) размера \(\ n \times m \) называется транспонированной в матрицу \(\ A \) размера \(\ m \times n \) , если элемент \(\ a_{j i} \)матрицы \(\ A \) вместо \(\ (i, j) \) , или, в противном случае, матрица, полученная из этой замены каждого из ее строки с столбцом с тем же номером. Так что если

    \(\ A=\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\dots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\dots} & {a_{2 n}} \\ {\ldots} & {\dots} & {\dots} & {\ldots} \\ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\dots} & {a_{m n}}\end{array}\right) \)

    тот

    \(\ A^{t}=\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{21}} & {\dots} & {a_{m 1}} \\ {a_{12}} & {a_{22}} & {\dots} & {a_{m 2}} \\ {\dots} & {\dots} & {\cdots} & {\dots} \\ {a_{1 n}} & {a_{2 n}} & {\dots} & {a_{m n}}\end{array}\right) \)

    Свойства переноса матрицы

    \(\ A, B \)- матрицы, \(\ \alpha \in R \)

    1.\(\ \left(A^{t}\right)^{t}=A \)

    2.\(\ (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t} \)

    3.\(\ (A B)^{t}=B^{t} A^{t} \)

    4. \(\ (\alpha A)^{t}=\alpha A^{t} \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ