Свойства матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Матрица
\(\
A=\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\dots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\ldots} & {a_{2 n}} \\ {\ldots} & {\ldots} & {\ldots} & {\ldots} \\ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\dots} & {a_{m n}}\end{array}\right)
\) представляет собой прямоугольную таблицу чисел, состоящую из \(\
\mathrm{m}
\) строк и \(\
\mathrm{n}
\) столбцов.
Он имеет размер \(\
m \times n
\) и обозначается \(\
A_{m \times n}
\) .
Элементы матрицы \(\
A
\) обозначаются буквами с двумя индексами, первый из которых указывает номер строки, в которой находится элемент, а второй - номер столбца.
Две матрицы \(\
A
\) и \(\
B
\) называются равными, если они имеют одинаковый размер и соответствующие им элементы равны, т.е.
\(\
A_{m \times n}=B_{k \times p} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{m=k} \\ {n=p} \\ {a_{i j}=b_{i j}, i=\overline{1, m}, j=\overline{1, n}}\end{array}\right.
\)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если \(\
m=n
\), то матрица называется квадратной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы равны нулю, кроме тех, которые расположены на главной диагонали.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Единичные матрицы являются диагональной матрицей, в которой все элементы на главной диагонали равны 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.
Сумма двух матриц \(\
A
\) и \(\
B
\) того же размера \(\
m \times n
\) является матрицей \(\
C
\) того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых матрицы, т. е. Если \(\
A_{m \times n}=\left(a_{i j}\right)
\) и \(\
B_{m \times n}=\left(b_{i j}\right)
\),
то
\(\
C_{m \times n}=A_{m \times n}+B_{m \times n}=\left(a_{i j}+b_{i j}\right)
\)
где \(\
i=\overline{1, m}, \quad j=\overline{1, n}
\)
Произведением матрицы \(\
A_{m \times n}=\left(a_{i j}\right)
\) числом \(\
k \in R
\) является матрица того же размера \(\
B_{m \times n}=\left(b_{i j}\right)
\)в ,каждый элемент которой получается путем умножения соответствующего элемента матрицы A на число k, т.е.
\(\
b_{i j}=k \cdot a_{i j}
\)
где \(\
i=\overline{1, m}
\), \(\
j=\overline{1, n}
\)
Свойства линейных матричных операций
1. \(\
A+B=B+A
\) - коммутативность (взаимозаменяемый закон) сложения;
2. \(\
A+(B+C)=(A+B)+C
\) - ассоциативность (объединение закона) сложения;
3. для любой матрицы \(\
A
\) существует единственная нулевая матрица \(\
\theta
\) такая, что \(\
A+\theta=A
\) ;
4. для любой матрицы \(\
A
\) существует единственная матрица \(\
(-A)=-1 \cdot A
\) , называемая противоположной, такая, что \(\
A+(-A)=\theta
\) где \(\
\theta
\) - нулевая матрица;
5.\(\
1 \cdot A=A
\)
6.\(\
\alpha \cdot(\beta A)=(\alpha \beta) \cdot A
\)
7.\(\
(\alpha+\beta) \cdot A=\alpha A+\beta A
\)
8.\(\
\alpha \cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B
\)
ПРИМЕР
Для матриц \(\
\Delta
\) и \(\
B
\) найдите \(\
2 A+3 B
\).
\(\
A=\left(\begin{array}{cc}{1} & {2} \\ {-1} & {7}\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc}{0} & {4} \\ {3} & {-2}\end{array}\right)
\)
Найти матрицы \(\
2 A
\) и \(\
3 \mathrm{B}
\):
\(\
2 A=2 \cdot\left(\begin{array}{cc}{1} & {2} \\ {-1} & {7}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2} & {4} \\ {-2} & {14}\end{array}\right)
\)
\(\
3 B=3 \cdot\left(\begin{array}{cc}{0} & {4} \\ {3} & {-2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{0} & {12} \\ {9} & {-6}\end{array}\right)
\)
Затем мы найдем их сумму
\(\
2 A+3 B=\left(\begin{array}{cc}{2} & {4} \\ {-2} & {14}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{0} & {12} \\ {9} & {-6}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2} & {16} \\ {7} & {8}\end{array}\right)
\)
\(\
2 A+3 B=\left(\begin{array}{ll}{2} & {16} \\ {7} & {8}\end{array}\right)
\)
Произведение матрицы \(\
A
\) размера \(\
m \times n
\) и матрицы \(\
\mathrm{B}
\) размера \(\
n \times k
\) называется матрицей \(\
C=A B
\) размера \(\
m \times k
\) , элемент \(\
c_{i j}
\) в i-й строке и j-столбце равен к сумме произведений соответствующих элементов -ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы \(\
B
\):
\(\
c_{i j}=a_{i 1} \cdot b_{1 j}+a_{i 2} \cdot b_{2 j}+\ldots+a_{i n} \cdot b_{n k}=\sum_{p=1}^{n} a_{i p} b_{p k}
\)
Комментарий. Для матриц \(\
A
\) и \(\
B
\) произведение определено, если число столбцов матрицы \(\
A
\) равно числу строк матрицы \(\
B
\).
Свойства операции умножения матрицы
\(\
A,B,C
\) - матрицы, \(\
\alpha, \beta \in R
\)
1.\(\
A \cdot(B \cdot C)=(A \cdot B) \cdot C
\) - ассоциативность умножения;
2.\(\
\alpha \cdot(A \cdot B)=(\alpha A) B
\)
3.\(\
(A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C
\)
4.\(\
A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C
\)
Если матрица \(\
A
\) имеет размер \(\
m \times n
\) , то равенство \(\
E_{m} A=A E_{n}=A
\) справедливо только в том случае, если \(\
E_{m}, E_{n}
\) является единичной матрицей m-го и n-го порядка.
ПРИМЕР 2
Найти работу с матрицей
\(\
A=\left(\begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {0} & {4}\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-1} \\ {0} & {2} & {-3}\end{array}\right)
\)
Матрица A имеет размеры 2 x 2, а матрица B имеет размеры 2 x 3, то есть число столбцов первой матрицы совпадает с числом столбцов второй матрицы, что означает, что их можно умножить. В результате умножения получаем матрицу C с размерами 2 x 3:
\(\
A_{2 \times 2} B_{2 \times 3}=C_{2 \times 3}
\)
\(\
C_{2 \times 3}=\left(\begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {0} & {4}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-1} \\ {0} & {2} & {-3}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc}{-1 \cdot 1+2 \cdot 0} & {-1 \cdot 2+2 \cdot 2} & {-1 \cdot(-1)+2 \cdot(-3)} \\ {0 \cdot 1+4 \cdot 0} & {0 \cdot 2+4 \cdot 2} & {0 \cdot(-1)+4 \cdot(-3)}\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}{-1} & {2} & {-5} \\ {0} & {8} & {-12}\end{array}\right)
\)
\(\
C=\left(\begin{array}{ccc}{-1} & {2} & {-5} \\ {0} & {8} & {-12}\end{array}\right)
\)
Матрица \(\
A^{t}
\) размера \(\
n \times m
\) называется транспонированной в матрицу \(\
A
\) размера \(\
m \times n
\) , если элемент \(\
a_{j i}
\)матрицы \(\
A
\) вместо \(\
(i, j)
\) , или, в противном случае, матрица, полученная из этой замены каждого из ее строки с столбцом с тем же номером. Так что если
\(\
A=\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\dots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\dots} & {a_{2 n}} \\ {\ldots} & {\dots} & {\dots} & {\ldots} \\ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\dots} & {a_{m n}}\end{array}\right)
\)
тот
\(\
A^{t}=\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{21}} & {\dots} & {a_{m 1}} \\ {a_{12}} & {a_{22}} & {\dots} & {a_{m 2}} \\ {\dots} & {\dots} & {\cdots} & {\dots} \\ {a_{1 n}} & {a_{2 n}} & {\dots} & {a_{m n}}\end{array}\right)
\)
Свойства переноса матрицы
\(\
A, B
\)- матрицы, \(\
\alpha \in R
\)
1.\(\
\left(A^{t}\right)^{t}=A
\)
2.\(\
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}
\)
3.\(\
(A B)^{t}=B^{t} A^{t}
\)
4. \(\
(\alpha A)^{t}=\alpha A^{t}
\)