Узнать цену работы
Статьи по теме

Свойства медианы треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Медиана треугольника - это сегмент, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медианов треугольника

Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера (то есть на треугольники с одинаковой площадью).

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Весь треугольник делится на его медианы на шесть треугольников равного размера.

В равнобедренном треугольнике медиана, опустившаяся до основания, является биссектрисой и высотой.

В равностороннем треугольнике любая медиана - это высота и биссектриса.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    В равнобедренном треугольнике \(\ \mathrm{ABC} \) со стороной \(\ A B=5 \mathrm{см} \) медиана была \(\ B L=4 \mathrm{см} \). Найдите область треугольника \(\ \mathrm{ABC} \).

  • Решение.

    Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера, затем \(\ S_{\Delta A B L}=S_{\Delta B C L} \) , откуда

    \(\ S_{\Delta A B C}=2 S_{\Delta A B L} \)

    Найдите область треугольника \(\ A B L \). Поскольку треугольник \(\ \mathrm{ABC} \) является равнобедренным, медиана \(\ \mathrm{BL} \) является высотой, то есть \(\ \mathrm{ABL} \) треугольником - прямоугольной и ее площадью

    \(\ S_{A B L}=\frac{1}{2} A L \cdot B L \)

    С помощью теоремы Пифагора мы находим ноги \(\ \mathrm{AL} \):

    \(\ A L=\sqrt{A B^{2}-B L^{2}}=\sqrt{25-16}=3 \mathrm{cm} \)

    Замените полученные результаты в области формулы:

    \(\ S_{A B L}=\frac{1}{2} 3 \cdot 4=6 \mathrm{cm}^{2} \)

    Теперь мы находим область треугольника \(\ \mathrm{ABC} \):

    \(\ S_{A B C}=2 S_{A B L}=2 \cdot 6=12 \mathrm{cm}^{2} \)

  • Ответ

    \(\ S_{A B C}=12 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    В треугольнике \(\ \triangle B C \) со сторонами \(\ AB=4 \mathrm{см} \), \(\ AC=6 \mathrm{cm} \) и углом \(\ \angle A=60^{\circ} \) , мы выполнили медианны \(\ AK \) и \(\ BL \), которые пересекаются в точке \(\ O \). Найдите \(\ BO \).

  • Решение.

    Так как \(\ BL \) - медиана треугольника,

    \(\ A L=L C=\frac{1}{2} A C=3 \mathrm{cm} \)

    Рассмотрим треугольник \(\ ABL \). По теореме о косинуале находим

    \(\ B L=\sqrt{A B^{2}+A L^{2}-2 A B \cdot A L \cos \angle A}=\sqrt{16+9-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{13} \mathrm{см} \)

    Медианы \(\ \mathrm{AK} \) и \(\ BL \) пересекаются в точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины, т.е.

    $\(\ B O=\frac{2}{3} B L=\frac{2 \sqrt{13}}{3} \mathrm{cm} \)

  • Ответ

    \(\ B O=\frac{2 \sqrt{13}}{3} \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ