Свойства медианы треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Медиана треугольника - это сегмент, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Свойства медианов треугольника
Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера (то есть на треугольники с одинаковой площадью).
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Весь треугольник делится на его медианы на шесть треугольников равного размера.
В равнобедренном треугольнике медиана, опустившаяся до основания, является биссектрисой и высотой.
В равностороннем треугольнике любая медиана - это высота и биссектриса.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
В равнобедренном треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) со стороной \(\
A B=5 \mathrm{см}
\) медиана была \(\
B L=4 \mathrm{см}
\). Найдите область треугольника \(\
\mathrm{ABC}
\).
Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера, затем \(\
S_{\Delta A B L}=S_{\Delta B C L}
\) , откуда
\(\
S_{\Delta A B C}=2 S_{\Delta A B L}
\)
Найдите область треугольника \(\
A B L
\). Поскольку треугольник \(\
\mathrm{ABC}
\) является равнобедренным, медиана \(\
\mathrm{BL}
\) является высотой, то есть \(\
\mathrm{ABL}
\) треугольником - прямоугольной и ее площадью
\(\
S_{A B L}=\frac{1}{2} A L \cdot B L
\)
С помощью теоремы Пифагора мы находим ноги \(\
\mathrm{AL}
\):
\(\
A L=\sqrt{A B^{2}-B L^{2}}=\sqrt{25-16}=3 \mathrm{cm}
\)
Замените полученные результаты в области формулы:
\(\
S_{A B L}=\frac{1}{2} 3 \cdot 4=6 \mathrm{cm}^{2}
\)
Теперь мы находим область треугольника \(\
\mathrm{ABC}
\):
\(\
S_{A B C}=2 S_{A B L}=2 \cdot 6=12 \mathrm{cm}^{2}
\)
\(\
S_{A B C}=12
\)
ПРИМЕР 2
В треугольнике \(\
\triangle B C
\) со сторонами \(\
AB=4 \mathrm{см}
\), \(\
AC=6 \mathrm{cm}
\) и углом \(\
\angle A=60^{\circ}
\) , мы выполнили медианны \(\
AK
\) и \(\
BL
\), которые пересекаются в точке \(\
O
\). Найдите \(\
BO
\).
Так как \(\
BL
\) - медиана треугольника,
\(\
A L=L C=\frac{1}{2} A C=3 \mathrm{cm}
\)
Рассмотрим треугольник \(\
ABL
\). По теореме о косинуале находим
\(\
B L=\sqrt{A B^{2}+A L^{2}-2 A B \cdot A L \cos \angle A}=\sqrt{16+9-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{13} \mathrm{см}
\)
Медианы \(\
\mathrm{AK}
\) и \(\
BL
\) пересекаются в точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины, т.е.
$\(\
B O=\frac{2}{3} B L=\frac{2 \sqrt{13}}{3} \mathrm{cm}
\)
\(\
B O=\frac{2 \sqrt{13}}{3}
\)