Узнать цену работы
Статьи по теме

Свойства неопределенного интеграла

1. Константу можно выносить за знак интеграла:

\(\ y=f(x) \)

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти интеграл \(\ [a ;+\infty) \)

  • Решение

    Применим свойство №1:

    \(\ \lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x \)

  • Ответ

    \(\ \int_{a}^{\infty} f(x) d x \)

    2. Интеграл суммы/разности равен сумме/разности интегралов от каждого из слагаемых:

    \(\ \int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Решить интеграл:

    \(\ \int_{a}^{\infty} f(x) d x \)

  • Решение

    Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

    \(\ (-\infty ; b] \)

    Каждый из полученных интегралов находим с помощью таблицы интегралов:

    \(\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{+\infty} f(x) d x \)

  • Ответ

    \(\ \int_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{+\infty} \frac{d x}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    3. Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

    \(\ [1 ;+\infty) \)

    ПРИМЕР 3

  • Задание

    Найти: \(\ f(x)=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

  • Решение

    Согласно свойству имеем, что

    \(\ \int_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{+\infty} \frac{d x}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\lim _{a \rightarrow+\infty} \int_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{a} \frac{d x}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=-\lim _{a \rightarrow+\infty}\left.\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x}\right|_
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^{a}=-\lim _{a \rightarrow+\infty}\left(\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {a}-1\right)=-(0-1)=1 \)

  • Ответ

    \(\ \int_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{+\infty} \frac{d x}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=1 \)

    4. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования:

    \(\ \int_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{+\infty} \frac{d x}{x} \)

    ПРИМЕР 4

  • Задание

    Решить интеграл \(\ f(x)=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x} \)

  • Решение

    Согласно свойству

    \(\ [1 ;+\infty) \)

  • Ответ

    \(\ \int_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{+\infty} \frac{d x}{x}=\lim _{a \rightarrow+\infty} \int_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{a} \frac{d x}{x}=\lim _{a \rightarrow+\infty} \ln \left.x\right|_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    ^{a}=\lim _{a \rightarrow+\infty}(\ln a-0)=+\infty \)

    5. Если \(\ y=f(x) \), то \(\ [a ; b) \)

    ПРИМЕР 5

  • Задание

    Известно, что \(\ \lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) d x \) . Найти \(\ \int_{a}^{b} f(x) d x \)

  • Решение

    Согласно свойству делаем вывод, что для \(\ \mathrm{k}=2 \)

    \(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) d x \)

  • Ответ

    \(\ y=f(x) \)

    6. Интеграл от производной некоторой функции равен этой функции плюс константа интегрирования:

    \(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) d x \)

    ПРИМЕР 6

  • Задание

    Доказать, что

    \(\ [a ; b] \)

  • Доказательство

    Найдем интеграл \(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x \). Производная подынтегральной функции равна:

    \(\ \int_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \frac{d x}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    Тогда

    \(\ (0 ; 1] \)

    По свойствам интеграла константу можно выносить за знак интеграла:

    \(\ f(x)=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    Применяем таблицу интегралов:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0+0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0+0} \frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\left[\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {(0+0)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {+0}\right]=+\infty \)

    Итак, \(\ \int_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \frac{d x}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{0+\varepsilon}^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \frac{d x}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left.\left(-\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x}\right)\right|_{\varepsilon} ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left(1-\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {\varepsilon}\right)=-1+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {\varepsilon}=\infty \)

  • Что и требовалось доказать.
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы