Свойства неопределенного интеграла
1. Константу можно выносить за знак интеграла:
\(\ y=f(x) \)
ПРИМЕР 1
Найти интеграл \(\
[a ;+\infty)
\)
Применим свойство №1:
\(\
\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x
\)
\(\
\int_{a}^{\infty} f(x) d x
\)
2. Интеграл суммы/разности равен сумме/разности интегралов от каждого из слагаемых:
\(\
\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x
\)
ПРИМЕР 2
Решить интеграл:
\(\
\int_{a}^{\infty} f(x) d x
\)
Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
\(\
(-\infty ; b]
\)
Каждый из полученных интегралов находим с помощью таблицы интегралов:
\(\
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{+\infty} f(x) d x
\)
\(\
\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}}
\)
3. Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
\(\
[1 ;+\infty)
\)
ПРИМЕР 3
Найти: \(\
f(x)=\frac{1}{x^{2}}
\)
Согласно свойству имеем, что
\(\
\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}}=\lim _{a \rightarrow+\infty} \int_{1}^{a} \frac{d x}{x^{2}}=-\lim _{a \rightarrow+\infty}\left.\frac{1}{x}\right|_{0} ^{a}=-\lim _{a \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{a}-1\right)=-(0-1)=1
\)
\(\
\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}}=1
\)
4. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования:
\(\
\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x}
\)
ПРИМЕР 4
Решить интеграл \(\
f(x)=\frac{1}{x}
\)
Согласно свойству
\(\
[1 ;+\infty)
\)
\(\
\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x}=\lim _{a \rightarrow+\infty} \int_{1}^{a} \frac{d x}{x}=\lim _{a \rightarrow+\infty} \ln \left.x\right|_{1} ^{a}=\lim _{a \rightarrow+\infty}(\ln a-0)=+\infty
\)
5. Если \(\
y=f(x)
\), то \(\
[a ; b)
\)
ПРИМЕР 5
Известно, что \(\
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) d x
\) . Найти \(\
\int_{a}^{b} f(x) d x
\)
Согласно свойству делаем вывод, что для \(\
\mathrm{k}=2
\)
\(\
\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) d x
\)
\(\
y=f(x)
\)
6. Интеграл от производной некоторой функции равен этой функции плюс константа интегрирования:
\(\
\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) d x
\)
ПРИМЕР 6
Доказать, что
\(\
[a ; b]
\)
Найдем интеграл \(\
\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x
\). Производная подынтегральной функции равна:
\(\
\int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2}}
\)
Тогда
\(\
(0 ; 1]
\)
По свойствам интеграла константу можно выносить за знак интеграла:
\(\
f(x)=\frac{1}{x^{2}}
\)
Применяем таблицу интегралов:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0+0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0+0} \frac{1}{x^{2}}=\left[\frac{1}{(0+0)^{2}}=\frac{1}{+0}\right]=+\infty
\)
Итак, \(\
\int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{0+\varepsilon}^{1} \frac{d x}{x^{2}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left.\left(-\frac{1}{x}\right)\right|_{\varepsilon} ^{1}=-\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left(1-\frac{1}{\varepsilon}\right)=-1+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon}=\infty
\)