Свойства неравенств
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неравенство - это соотношение между числами или величинами, указывающее, какое из них больше или меньше.
Отношения задаются знаками \(\
< >
\) и \(\
\geq \leq
\)
Неравенства отношений \(\
> <
\) называются строгими, неравенства \(\
\geq \leq
\) называются нестрогими.
В неравенствах можно сравнить числа - это числовые неравенства, а неравенство также может зависеть от переменной, например, сравнение функций \(\
f(x)
\) и \(\
\mathrm{g}(\mathrm{x})
\). Переменные неравенства могут быть линейными, линейно-дробными, квадратными, логарифмическими, экспоненциальными, тригонометрическими и т. Д.
Неравенства, содержащие два признака отношения, называются двойными неравенствами.
Пример: \(\
5 < x \leq 6
\)
Решением неравенства является поиск всех значений переменной, для которых данное неравенство верно.
Свойства неравенства
1. Вы можете добавить или вычесть любое выражение для обеих сторон неравенства:
\(\
f(x)>g(x) \Rightarrow f(x)+h(x)>g(x)+h(x)
\)
2. Неравенства одного знака могут быть добавлены словом.
\(\
\begin{array}{l}{f(x)>g(x)} \\ {p(x)> h(x)}\end{array} \Rightarrow f(x)+p(x)>g(x)+h(x)
\)
3. Неравенства разных знаков можно вычитать по срокам:
\(\
\begin{array}{l}{f(x)>g(x)} \\ {p(x)< h(x)}\end{array} \Rightarrow f(x)+p(x)>g(x)+h(x)
\)
4. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число:
\(\
f(x)>g(x) \Rightarrow a \cdot f(x)>a \cdot g(x), a>0
\)
5. Если обе стороны неравенства умножаются или делятся на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположное:
\(\
f(x)> g(x) \Rightarrow a \cdot f(x)< a \cdot g(x), a< 0
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Найти все значения \(\
\mathrm{x}
\), для которых справедливо неравенство \(\
3 \cdot(6-x)>2 \cdot(3 x+2)+5
\)
В данном неравенстве откройте скобки и дайте похожие:
\(\
18-3 x>6 x+4+5 \Leftrightarrow 18-3 x>6 x+9
\)
Слагаемые с \(\
x
\) перемещаются влево, а остальные вправо:
\(\
-3 x-6 x>9-18
\)
или же
\(\
-9 x>-9
\)
Мы разделим обе части неравенства на \(\
(-9)
\), а знак неравенства изменится на противоположное:
\(\
x<1
\)
\(\
x \in(-\infty, 1)
\)
\(\
x \in(-\infty, 1)
\)
ПРИМЕР 2
Одна сторона прямоугольника на \(\
5 \mathrm{см}
\) больше, чем другая. Какая может быть эта сторона, если площадь прямоугольника меньше \(\
36 \mathrm{см} 2
\).
Обозначим первую сторону прямоугольника через \(\
x \mathrm{см}(x>0)
\), тогда вторая сторона \(\
(x-5)
\) см \(\
(x-5>\theta)
\). Площадь этого прямоугольника равна \(\
x(x-5) \ см 2
\)
Из условия задачи сделаем неравенство
\(\
x(x-5)<36
\)
Решить неравенство
\(\
x^{2}-5 x-36<0
\)
или же
\(\
(x+4)(x-9)<0
\)
\(\
x \in(-4 ; 9)
\)
Из того факта, что \(\
x>0
\) и \(\
x-5>0
\), следует, что \(\
x \in(5 ; 9)
\)
\(\
x \in(5 ; 9)
\)