Узнать цену работы
Статьи по теме

Свойства неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неравенство - это соотношение между числами или величинами, указывающее, какое из них больше или меньше.

Отношения задаются знаками \(\ < > \) и \(\ \geq \leq \)

Неравенства отношений \(\ > < \) называются строгими, неравенства \(\ \geq \leq \) называются нестрогими.

В неравенствах можно сравнить числа - это числовые неравенства, а неравенство также может зависеть от переменной, например, сравнение функций \(\ f(x) \) и \(\ \mathrm{g}(\mathrm{x}) \). Переменные неравенства могут быть линейными, линейно-дробными, квадратными, логарифмическими, экспоненциальными, тригонометрическими и т. Д.

Неравенства, содержащие два признака отношения, называются двойными неравенствами.

Пример: \(\ 5 < x \leq 6 \)

Решением неравенства является поиск всех значений переменной, для которых данное неравенство верно.

Свойства неравенства

1. Вы можете добавить или вычесть любое выражение для обеих сторон неравенства:

\(\ f(x)>g(x) \Rightarrow f(x)+h(x)>g(x)+h(x) \)

2. Неравенства одного знака могут быть добавлены словом.

\(\ \begin{array}{l}{f(x)>g(x)} \\ {p(x)> h(x)}\end{array} \Rightarrow f(x)+p(x)>g(x)+h(x) \)

3. Неравенства разных знаков можно вычитать по срокам:

\(\ \begin{array}{l}{f(x)>g(x)} \\ {p(x)< h(x)}\end{array} \Rightarrow f(x)+p(x)>g(x)+h(x) \)

4. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число:

\(\ f(x)>g(x) \Rightarrow a \cdot f(x)>a \cdot g(x), a>0 \)

5. Если обе стороны неравенства умножаются или делятся на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположное:

\(\ f(x)> g(x) \Rightarrow a \cdot f(x)< a \cdot g(x), a< 0 \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найти все значения \(\ \mathrm{x} \), для которых справедливо неравенство \(\ 3 \cdot(6-x)>2 \cdot(3 x+2)+5 \)

  • Решение.

    В данном неравенстве откройте скобки и дайте похожие:

    \(\ 18-3 x>6 x+4+5 \Leftrightarrow 18-3 x>6 x+9 \)

    Слагаемые с \(\ x \) перемещаются влево, а остальные вправо:

    \(\ -3 x-6 x>9-18 \)

    или же

    \(\ -9 x>-9 \)

    Мы разделим обе части неравенства на \(\ (-9) \), а знак неравенства изменится на противоположное:

    \(\ x<1 \)

    \(\ x \in(-\infty, 1) \)

  • Ответ

    \(\ x \in(-\infty, 1) \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Одна сторона прямоугольника на \(\ 5 \mathrm{см} \) больше, чем другая. Какая может быть эта сторона, если площадь прямоугольника меньше \(\ 36 \mathrm{см} 2 \).

  • Решение.

    Обозначим первую сторону прямоугольника через \(\ x \mathrm{см}(x>0) \), тогда вторая сторона \(\ (x-5) \) см \(\ (x-5>\theta) \). Площадь этого прямоугольника равна \(\ x(x-5) \ см 2 \)

    Из условия задачи сделаем неравенство

    \(\ x(x-5)<36 \)

    Решить неравенство

    \(\ x^{2}-5 x-36<0 \)

    или же

    \(\ (x+4)(x-9)<0 \)

    \(\ x \in(-4 ; 9) \)

    Из того факта, что \(\ x>0 \) и \(\ x-5>0 \), следует, что \(\ x \in(5 ; 9) \)

  • Ответ

    \(\ x \in(5 ; 9) \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ