Свойства параллелограмма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Параллелограмм представляет собой четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны парам.
Свойства параллелограмма
1. На противоположных сторонах параллелограмма:
\(\
A B=C D
\); \(\
B C=A D
\)
2. Противоположные углы параллелограмма:
\(\
\angle A=\angle C
\); \(\
\angle B=\angle D
\)
3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам:
\(\
A O=O C
\); \(\
B O=O D
\)
4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника \(\
\Delta A B C=\Delta A D C
\)
5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов двух ее смежных сторон:
\(\
A C^{2}+B D^{2}=2\left(A B^{2}+B C^{2}\right)
\)
6. Сумма углов, смежных с одной стороной параллелограмма, равна \(\
180^{\circ}
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
В параллелограмме \(\
A B C D
\) стороны \(\
A B=3 \mathrm{см}
\) и \(\
\angle A=60^{\circ}
\) . Найти \(\
\angle B
\) и \(\
D
\).
Углы \(\
\angle A
\) и \(\
\angle B
\) смежны с одной стороной, что означает \(\
\angle A+\angle B=180^{\circ}
\) . Это следует из того
\(\
\angle B=180^{\circ}-\angle A=120^{\circ}
\)
Стороны \(\
A B
\) и \(\
C D
\) противоположны, что означает, что они равны, т.е.
\(\
C D=A B=3 \mathrm{см}
\)
\(\
\angle B=120^{\circ}
\), \(\
C D=3 \mathrm{см}
\)
ПРИМЕР 2
В параллелограмме \(\
A B C D
\) стороны \(\
A B=2 \mathrm{см}
\), \(\
B C=4 \mathrm{см}
\) и диагональ \(\
A C=2 \sqrt{3} \mathrm{см}
\) известны. Найдите вторую диагональ \(\
B D
\).
Для параллелограмма выполняется следующее равенство:
\(\
A C^{2}+B D^{2}=2\left(A B^{2}+B C^{2}\right)
\)
Подставим в него известные значения \(\
12+B D^{2}=2(4+16)
\) экспресс
\(\
B D^{2}=40-12=28
\)
как следствие
\(\
B D=2 \sqrt{7} \mathrm{cm}
\)
\(\
B D=2 \sqrt{7} \mathrm{cm}
\)